1 . 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数
，被称为狄利克雷函数，其中
为实数集，
为有理数集，则以下关于狄利克雷函数
的结论中，正确的是（ ）
，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ）A．函数满足： |
B．函数的值域是 |
C．对于任意的 ，都有 |
D．在图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形 |
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2 . 设函数
的定义域为
，其中常数
.若存在常数
，使得对任意的
，都有
，则称函数具有性质
.
(1)当
时， 函数
和
是否具有性质?
(2)若
，函数具有性质，且当
时，
，求不等式 
的解集.
(3)已知函数具有性质，
， 且的图象是轴对称图形. 若在
上有最大值
，且存在
，使得
，求证：
.
的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.(1)当
时， 函数和是否具有性质?(2)若
，函数具有性质，且当时，，求不等式 的解集.(3)已知函数
具有性质，， 且的图象是轴对称图形. 若在上有最大值，且存在，使得，求证：.
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解题方法
3 . 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，如
，
.若
，
，则下列说法正确的是（ ）
，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（ ）A．当 时， |
B． |
C．函数的值域为 |
D．当 时，函数 的值域为 |
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昨日更新
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367次组卷
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2卷引用：黑龙江省大庆铁人中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
4 . 阅读材料一：设函数在区间
上有定义，若对任意
和任意
，都有
，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有
，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即
存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即
.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意
都有
（
）且在区间的任意子区间内
不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，
（其中
为无限接近于0的正数），在
上存在二阶导函数，若在
和
上的符号相反，则点
为曲线
的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)证明：对任意
，
，不等式
恒成立；
(2)设函数
，若点
是曲线的拐点，求实数
，
的值，并证明的图象关于拐点中心对称：
(3)设函数
，若点
是曲线
的一个拐点，且
，其中
，试证明：
.
在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：(1)证明：对任意
，，不等式恒成立；(2)设函数
，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称：(3)设函数
，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：.
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5 . 对于集合M，定义函数
对于两个集合
，定义集合
.已知
(1)写出
和
的值，并用列举法写出集合
；
(2)用
表示有限集合M所含元素的个数，求
的最小值；
(3)有多少个集合对
，满足，
，且
？
对于两个集合，定义集合.已知(1)写出
和的值，并用列举法写出集合；(2)用
表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；(3)有多少个集合对
，满足，，且？
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6 . 
表示不超过的最大整数，例如，
，
，已知函数
，下列结论正确的有（ ）
表示不超过的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ）A．若 ，则 |
B． |
C．设 ，则 |
D．所有满足 的点 组成的区域的面积和为 |
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解题方法
7 . 对于函数
，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有
，并且
，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ）
，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ）A．函数 是“倒函数” |
B．若函数在R上为“倒函数”，则 |
C．若函数在R上为“倒函数”，当 ，则 |
D．若函数在R上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在R上是单调增函数，记 ，若 ，则 . |
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解题方法
8 . 已知定义域为的函数，若存在正数
，对任意，都有
成立，则称函数是定义域上的有界函数.下列选项中是有界函数的是（ ）
的函数，若存在正数，对任意，都有成立，则称函数是定义域上的有界函数.下列选项中是有界函数的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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9 . 现定义表示不超过实数x的最大整数，如 
(1)求不等式
的解集：
(2)求不等式
的解集：
(3)若对任意的
恒成立，求a的取值范围：
(4)若
的解集为
求a的取值范围.
表示不超过实数x的最大整数，如 (1)求不等式
的解集：(2)求不等式
的解集：(3)若对任意的
恒成立，求a的取值范围：(4)若
的解集为求a的取值范围.
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10 . 已知函数
为自然对数的底数
，
，曲线与
在
处的切线的倾斜角互补.
(1)求
的值；
(2)求
的单调递增区间；
(3)若存在实常数
和
，使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数都满足
和
恒成立，则称直线
为函数和的“隔离直线”.证明：函数
和
之间存在唯一的“隔离直线”.
为自然对数的底数，，曲线与在处的切线的倾斜角互补.(1)求
的值；(2)求
的单调递增区间；(3)若存在实常数
和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为函数和的“隔离直线”.证明：函数和之间存在唯一的“隔离直线”.
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