【推荐1】如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．

（1）判断四面体的形状，并说明理由；
（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．

【推荐2】要电镀螺杆（尺寸如图，单位：mm），如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的螺杆需要锌多少克（精确到0.lg）？

【推荐3】如图，在长方形中，，，点是的中点.将沿折起，使平面平面，连结、、.

（1）求证：平面；
（2）点是线段的中点，求三棱锥的体积.

【推荐1】如图所示，直三棱柱中，，，点在线段上.

（1）若是中点，证明：平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐2】如图，在正方体中，为线段靠近的三等分点．

(1)若点满足，求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【推荐3】如图，在梯形中,∥,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上．

（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）当为何值时,∥平面?证明你的结论；
（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值．