【推荐1】已知等比数列的首项是1，公比为3，等差数列的首项是，公差为1，把中的各项按如下规则依次插入的每相邻两项之间，构成新数列：，，，，，，，，，，…，即在和两项之间依次插入中个项，则__________．（用数字作答）

【推荐2】如图,一个粒子的起始位置为原点,在第一象限内于两正半轴上运动,第一秒运动到(0,1),而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动,且每秒移动一个单位长度,如图所示,经过秒时移动的位置设为,那么经过2019秒时,这个粒子所处的位置的坐标是______.

【推荐3】已知，集合，集合所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为__________．

【推荐1】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则__________．

【推荐2】设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，已知数列满足，，则______.

【推荐3】如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则(1)按网络运作顺序第n行第1个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…)是________；(2)第63行从左至右的第4个数字应是________．

【推荐1】一质点从所有棱长都为1的正五棱柱的顶点E出发，沿正五棱柱的棱运动，每经过一条棱称为一次运动，运动方向是从开始EA上称为第1棱动，AB上第2棱动，上称为第3棱动，…，且第棱动所在棱与第棱动所在的棱是异面直线，经过2019次运动后,质点到达顶点位置是________.

【推荐2】用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形，其排列的规律如下图所示：

已知个钢珠恰好可以排成每边个钢珠的正三角形与正方形各一个；若用这个钢珠去排成每边个钢珠的正五边形时，就会多出个钢珠，则　 　.

【推荐3】把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则________