【推荐1】如图甲所示，电阻不计的轨道MON与PRQ平行放置，ON及PQ与水平面的夹角θ=53°，水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，倾斜导轨处于平行轨道向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小相同。两根相同的导体棒ab和cd分别放置在导轨上，与导轨垂直并始终接触良好。导体棒的质量m=1.0kg，R=1.0Ω，长度L=1.0m与导轨间距相同，两导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5。现对ab棒施加一个方向向右、大小随乙图规律变化的力F的作用，同时由静止释放cd棒，则ab棒做初速度为零的匀加速直线运动。设解题涉及过程中ab、cd两棒分别位于水平和倾斜轨道上，g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：
（1）ab棒的加速度大小；
（2）若已知前2s内外力做功W=30J，求这一过程中电路产生的焦耳热；
（3）cd棒达到最大速度所需的时间。

【推荐2】如图a所示，一根水平长杆固定不动，一个质量m=1.2kg的小环静止套在杆上，环的直径略大于杆的截面直径，现用斜面向上53°的拉力F作用于小环，将F从零开始逐渐增大，小环静止一段时间后开始被拉动，得到小环的加速度a与拉力F的图象如图b所示，加速度在F达到15N后保持不变．（g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：

(1)F=15N时长杆对小球的弹力大小，及小环加速度的大小。
(2)F从0N增大到15N的过程中，F的最大功率240W，求小环在此过程的最大速度。
(3)环和长杆的动摩擦因数。

【推荐3】如图甲所示，倾角θ=37°的粗糙斜面固定在水平面上，斜面上端固定一轻质弹簧，下端与一足够长的水平面平滑相连，水平面右端放置一个质量M=7.0kg的滑块，开始时弹簧被一质量m=1.0kg的小物块（可视为质点）压缩，小物块与弹簧只接触不相连，此时小物块距斜面底端的距离=4.0m。t=0时释放小物块，图乙为小物块在斜面上运动的加速度a随时间t变化的部分图象，小物块到达水平面并与滑块发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。已知弹簧的劲度系数k=75N/m，弹性势能的表达式为，x为弹簧形变量，所有接触面之间动摩擦因数均相同。g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
(1)斜面与小物块之间的动摩擦因数μ；
(2)小物块到达斜面底端时的速度大小；
(3)滑块运动的路程s。

【推荐1】如图所示，固定在水平面上倾角θ＝37°的光滑斜面底端有一垂直于斜面的挡板，可看成质点的小球A、B、C质量均为m＝2kg，小球B、C通过一劲度系数k＝57.6N/m的轻质弹簧相连，初始时，球B、C处于静止状态，球A拴在绳长为L=0.8m一端，绳子的另一端固定在O点，将A拉到O点的等高处由静止释放，当球A运动到最低点时，绳子恰好断掉，球A被水平抛出，恰好无碰撞地由P点滑上斜面，继续运动x_PQ=m后与静止于Q点的球B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B粘在一起，已知不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
(1)绳子的最大承受拉力的大小F_m；
(2)碰撞前后损失的机械能；
(3)设从球A、B粘在一起到球C恰好离开挡板这一过程经历了时间t＝2s，则这一过程中弹簧对球AB的冲量大小I为多少？（弹簧始终处于弹性限度内）

【推荐2】目前，滑板运动受到青少年的追捧。如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图，赛道G的左侧光滑，FG为圆弧赛道，半径R=9.0m，G为最低点并与水平赛道CD位于同一水平面，AB、EF平台的高度都为h=1.8m。C、D、G处平滑连接。滑板a和b的质量均为m=5 kg，运动员质量为M=45kg。表演开始，运动员站在滑板b上，先让滑板a从B点静止下滑，随后运动员与b板一起从B点静止下滑。滑上CD赛道后，运动员从b板跳到同方向运动的a板上，与a板一起以6.9 m/s的速度从D点沿DE赛道上滑后冲出赛道，落在FG赛道的P点，沿赛道滑行，经过G点时，运动员受到的支持力F_N=661.25N。（滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内，计算时滑板和运动员都看作质点，取g=10m/s²）
(1)滑到G点时，运动员的速度是多大？
(2)若滑板与赛道G的右侧间的动摩擦因数为（式中L为离G端的距离），则滑板最终停在离G点多远处？
(3)从表演开始到运动员滑至G的过程中，系统的机械能改变了多少？

【推荐3】如图所示，半径R=2.8 m的光滑半圆轨道BC与倾角θ=37°的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB相连，A处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B处与圆轨道相切。在水平轨道上，两静止小球P、Q压紧轻质弹簧后用细线连在一起。某时刻剪断细线后，小球P向左运动到A点时，小球Q沿圆轨道到达C点；之后小球Q落到斜面上时恰好与沿斜面运动的小球P发生碰撞。已知小球P的质量m₁=3.2 kg，小球Q的质量m₂=1 kg，小球P与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，剪断细线前弹簧的弹性势能Ep=168J，小球到达A点或B点时已和弹簧分离。重力加速度g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
（1）小球Q运动到C点时对轨道的压力大小；
（2）小球P沿斜面上升的最大高度h；
（3）小球Q离开圆轨道后经过多长时间与小球P相碰。

【推荐1】“势阱”是量子力学中的常见概念，在经典力学中也有体现。当粒子在某力场中运动，势能函数曲线在空间某范围内势能存在最小值，形如陷阱，粒子很难跑出来。各种形式的势能函数只要具有这种特点，我们都可以称它为势阱，比如重力势阱、引力势阱、弹力势阱等。
（1）如图甲所示，光滑轨道abcd固定在竖直平面内形成一重力势阱，两侧高分别为kH（k＞1）和H。3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号），质量均为m，2号和3号小球紧挨着静置于水平轨道的b处，1号小球从左侧a处沿着轨道从静止开始向下运动，在b处与其他小球发生弹性碰撞，碰撞前后都在轨道上运动。已知重力加速度为g。
①计算说明3号小球离开该势阱在水平轨道cd运动时的速度大小。
②若将2号球左侧涂胶（不计胶的质量），1、2号球碰撞后粘在一起，发现全部3个球都能离开该势阱，分析说明k满足什么条件？
（2）我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，从而摆脱地球引力势阱的束缚，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。
①已知，取无限远处为零势能点，间距为r，质量分别为m₁、m₂的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：，式中G为引力常量且大小已知。假设地球是一半径为R，质量为M且质量分布均匀的球体，通过理论分析可知，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。在如图乙所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。并在纵坐标上标出探测器在地球表面时所具有的引力势能。
②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。已知地球公转周期为12个月，如图丙所示，探测器由地球公转轨道上的H点开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，经霍曼转移轨道在I点到达火星。“天问一号”已于2020年7月23日发射升空，请根据上述信息推断“天问一号”到达火星的时间？请查阅资料，结合“天问一号”真实到达时间，对推断时间给出评价。（可能需要用到的数据：）

【推荐2】光滑水平轨道上放置上表面粗糙的长木板A和滑块C，滑块B置于A的左端，A与B之间动摩擦因数为，三者质量分别是，，。开始时C静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A，B再次达到共速一起向右运动，且恰好不再与C碰撞，重力加速度g取。求：
（1）A与C发生碰撞后瞬间A和C的速度大小和各为多少？
（2）判断A与C发生的碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞，若为弹性碰撞请通过计算说明理由：若为非弹性碰撞，请计算出碰撞时损失的机械能的大小；
（3）如果滑块B不能从木板A上滑落，木板A至少多长？

【推荐3】如图所示，皮带传送装置由水平传送带和倾斜传送带两部分组成，两部分衔接处有一小段圆弧平滑连接，圆弧长度不计，倾斜传送带与水平方向间的夹角为，水平传送带两端点间的距离，以的速度沿顺时针方向转动；倾斜传送带以的速度沿逆时针方向转动。质量的滑块A无初速度地放在处平传送带的最左端，同时质量的滑块B无初速度地放在倾斜传送带的顶端，两滑块与传送带间的动摩擦因数均为，滑块A和滑块B恰好在两部分衔接处发生非弹性碰撞，碰撞时间极短，碰撞后滑块A恰好运动到水平传送带最左端。，，重力的速度g取10m/s，求：
（1）倾斜传送带的长度；
（2）滑块A和滑块B在碰撞过程中损失的机械能；
（3）从无初速度释放到滑快B第二次运动到两部分衔接处的过程中，滑块A和滑块B与传送带组成的系统因摩擦产生的内能。

【推荐3】如图所示为竖直平面坐标系xOy中的装置。四分之三的光滑细管轨道AEF的半径为R，圆心为，接收面ABC由倾角的斜面AB和四分之一的圆弧面BC组成，已知斜面上端A点位于原点O的正上方2R处，且紧靠细管口；圆弧面BC的半径为3R，圆心在B点的正上方。在y轴上某处将质量为m的小球P（可视为质点）由静止释放，小球进入细管轨道后从最高点F水平抛出。已知小球从释放开始到任意位置均满足：常量（恒定不变），其中y和v分别表示小球所到位置的纵坐标和速度，g为重力加速度，不计空气阻力的影响。
（1）若小球在y=5R处由静止释放，求小球经过最低点E时对细管轨道的压力大小；
（2）要使小球能打在接收面AB上，求小球释放点的y坐标的范围；
（3）请写出小球释放点的竖直坐标y与打在接收面ABC上的水平坐标x之间的函数关系。（不考虑小球打到接收面后的反弹）