【推荐1】将一内壁光滑的绝缘细圆管做成的圆环BDC固定在竖直面内，圆环的圆心为O，D为圆环的最低点，其中∠BOC＝，圆环的半径为R，水平虚线BC的上方存在水平向右的范围足够大的匀强电场．圆心O的正上方A点有一质量为m、带电荷量为＋q的小球（可视为质点），其直径略小于圆管内径．现将该小球无初速度释放，经过一段时间后小球刚好无碰撞地进入圆管中并继续在圆管中运动，重力加速度为g．求：

（1）A点到O点的距离及匀强电场的电场强度大小；
（2）小球运动到圆环的最低点D时对圆环的作用力．

【推荐2】特种机器人越来越多地参与高强度高风险的应急救援，应用5G虚拟现实技术还可以事先建模推演。如图是某次模拟行动的示意图，云梯平台离地高为h=20m，云梯顶有一段可视为圆弧的半径R=2m的光滑轨道AB，B点恰好在平台边缘。机器人在A处获得初动能后沿轨道下滑，在B点以v₀=12m/s水平飞出，细柱状建筑物与平台边缘的水平距离L=32m。机器人可看作m=80kg的质点，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s²。
(1)机器人在B点时对轨道的作用力大小和方向；
(2)若机器人从B点飞出1.6s后控制系统提示无法到达建筑物，于是机器人立即朝建筑物发射特制轻质钢丝绳，钢丝绳沿直线迅速到达建筑物并固定在某点Q（即从钢丝绳发射到固定的时间忽略不计），且钢丝绳的运动方好垂直机器人速度方向，之后机器人绕Q点做圆周运动并顺利到达建筑物，求机器人到达建筑物时离地的高度（不计钢丝绳的形变）；
(3)机器人在B点以v₀=12m/s飞出后，按照（2）的方式，可择机朝建筑物Q在同一竖直线上发射钢丝绳若机器人到达建筑物时不作停留，立即脱离钢丝绳继续向前运动，最终落到水平地面，假设建筑物足够高，欲使落地点与建筑物水平距离s最大，则机器人到达建筑物时的离地高度为多少？并求出s的最大值。

【推荐3】如图所示，在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点．质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝通过A点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.

(1)求质点的质量；
(2)质点能做完整的圆周运动过程中，若磁性引力大小恒定，试证明质点对A、B两点的压力差为定值；
(3)若磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，求质点通过B点最大速率．

【推荐1】如图甲所示，有一质量为m＝3kg可视为质点的物块以某一初速度从A点水平抛出，恰好从圆管BCD的B点沿切线方向进入圆弧，经BCD从圆管的最高点D射出时立刻滑上质量为M的足够长的长木板，此后它们在水平面上运动的v-t图像如图乙所示。已知圆弧的半径为R=40m，且A与D在同一水平线上，BC弧对应的圆心角θ=60°，不计空气阻力，但管道内不光滑，重力加速度g=10m/s²。求：
（1）物块从A点做平抛运动的初速度v₀的大小；
（2）在D点处物块对管壁的作用力的大小和方向；
（3）物块和木板之间的动摩擦系数μ₁、木板和水平面之间的动摩擦因数μ₂；
（4）木板的质量M与最短长度L。

【推荐2】如图所示，和两物块（可视为质点）放在转盘上，的质量为的质量为，的质量为2m，两者用长为的细绳连接，距转轴距离为，两物块与转盘间的动摩擦因数均为，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为，求：
(1)角速度为何值时，绳上刚好出现拉力；
(2)角速度为何值时，、开始与转盘发生相对滑动。

【推荐1】万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F₀。
①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F₁，求比值的表达式，并就 h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F₂，求比值的表达式。
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为R_s和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？

【推荐2】在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极点受到的重力大小之比约为299∶300，因此我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等。而在某些星球，两者差异却不能忽略。假设因某星球自转，一物体在其赤道上的重力与在两极点受到的重力大小之比为7∶8，已知该星球的半径为R。
（1）求绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r；
（2）若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，引力常量为G，求该星球的密度ρ。