【推荐1】磁悬浮列车可简化为如下情境：固定在列车下端的矩形金属框随车平移，金属框与轨道平行的一边长为d，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，如图乙所示，磁感应强度随到边界的距离大小而按图丙所呈现的正弦规律变化，其最大值为。磁场以速度、列车以速度沿相同的方向匀速行驶，且，从而产生感应电流，金属线框受到的安培力即为列车行驶的驱动力。设金属框电阻为R，轨道宽为l，求：
（1）线框在运动过程中所受安培力的最大值；
（2）如图丙所示，时刻线框左右两边恰好和磁场I的两边界重合，写出线框中感应电流随时间变化的表达式；
（3）从时刻起列车匀速行驶s距离的过程中，矩形金属线框产生的焦耳热。

【推荐3】图所示，空间中有4个互相平行的竖直分界面P、Q、M、N，它们的间距均为。P、Q间充满竖直向上的匀强磁场，M、N间充满竖直向下的匀强磁场，PQ、MN间的磁场磁感应强度均为。在分界面P的左侧有一个边长的正方形金属线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与P的距离也为d。现线框以的速度水平飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为。已知线框的电阻，质量为，重力加速度为，求：
（1）ab边刚进入分界面P时线框受到的合力大小及方向；
（2）线框从开始运动到ab边到达Q过程下落的高度h；
（3）若磁感应强度B可调，想要线框最终能竖直下落，B的最小值表达式（用m、、d、L和R表示）。

   

【推荐1】如图甲所示，匝数N=100，边长为L=0.2m 的正方形闭合线圈abcd 固定于绝缘小车上（小车在图中没有画出，大小忽略不计），置于粗糙水平地面上，车与地面的动摩擦因数μ=0.4，线圈的总电阻R=2Ω，小车和线圈的总质量m=2kg，区域内有垂直线圈平面的匀强磁场，宽度为5L，下边界与线圈中心等高，ab边恰好不在磁场区域内，磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化，求：
(1)t₁ =0.2s时线圈中通过的电流；
(2)分别计算t₂=0.5s、t₃=2s时刻cd边安培力的值；
(3)若在t=1s，瞬间给对象水平向右的力，合力的冲量I=0.3N·s（作用时间极短，可忽略不计），使线圈获得初速度，同时对线圈施加一水平拉力F，使线圈向右匀速通过磁场区域，求：
①线圈离开磁场过程中力F的最小值；
②从t=0到线圈离开磁场全过程，线圈产生的焦耳热．
   

【推荐2】我国高铁技术处于世界领先水平，其中一项为电磁刹车技术。某次科研小组要利用模型火车探究电磁刹车的效果，如图所示，轨道上相距处固定着两个长、宽、电阻为R的单匝线圈，＞。在火车头安装一个电磁装置，它能产生长、宽的矩形匀强磁场，磁感强度为B。经调试，火车在轨道上运行时摩擦力为零，不计空气阻力。现让火车以初速度从图示位置开始匀速运动，经过2个线圈，矩形磁场刚出第2个线圈时火车停止。测得第1个线圈产生的焦耳热Q₁是第2个线圈产生的焦耳热Q₂的3倍。求：
(1)车头磁场刚进入第1个线圈时，火车所受的安培力大小；
(2)求车头磁场在两线圈之间匀速运行的时间。

【推荐3】如图所示，条形磁场组方向水平向里，磁场边界与地面平行，磁场区域宽度为，磁场强度，磁场间距为，一正方形金属线框质量为，边长也为L。总电阻为现将金属线框置于磁场区域1上方某一高度h处自由释放，线框在经过磁场区域时边始终与磁场边界平行。不计空气阻力，重力加速度g取，求：
（1）当h为多少时，边进入磁场刚好能做匀速运动。
（2）若在（1）基础上增加适当的高度，使金属线框边每次出磁场时都刚好做匀速运动，求金属线框经过前n个磁场区域过程中线框中产生的总焦耳热。

【推荐1】如图，两根相距d＝1m的平行金属导轨OC、O′C′，水平放置于匀强磁场中，磁场方向水平向左，磁感应强度B₁＝5/6T．导轨右端O、O′连接着与水平面成30°的光滑平行导轨OD、O′D′，OC与OD、O′C′与O′D′分别位于同一竖直平面内，OO′垂直于OC、O′C′．倾斜导轨间存在一匀强磁场，磁场方向垂直于导轨向上，磁感应强度B₂＝1T．两根与倾斜导轨垂直的金属杆M、N被固定在导轨上，M、N的质量均为m＝1kg，电阻均为R＝0.5Ω，杆与水平导轨间的动摩擦因数为＝0.4．现将M杆从距OO′边界x＝10m处静止释放，已知M杆到达OO′边界前已开始做匀速运动．当M杆一到达OO′边界时，使N杆在一平行导轨向下的外力F作用下，开始做加速度为a＝6m/s²的匀加速运动．导轨电阻不计，g取10m/s²．

（1）求M杆下滑过程中，M杆产生的焦耳热Q；
（2）求N杆下滑过程中，外力F与时间t的函数关系；
（3）请分析M在水平面上的运动情况，
（4）已知M杆停止时，N杆仍在斜面上，求N杆运动的位移s.

【推荐2】如图（a）所示，两段间距均为L的长平行金属导轨，左段表面光滑、与水平面成θ角固定放置，顶端MN之间连接定值电阻R₁，右段导轨表面粗糖、水平放置，末端CD之间连接一电源，电动势为E、内阻为r，两段导轨中间EF处通过一小段绝缘光滑轨道将它们圆滑连接起来．空间存在以EF为边界的磁场，左侧为匀强磁场，方向垂直导轨平面向下，大小为B₁，右侧为变化磁场，方向水平向右，大小随时间变化如图（b）所示．现将一质量为m、电阻为R₂、长为L的金属棒搁在左侧顶端，由静止释放，金属棒到达EF之前已经匀速，接着进入水平轨道，且整个过程中没有离开导轨．设金属棒到达边界EF处t＝0，金属棒与水平导轨动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则：

（1）金属棒到达EF处的速度大小；
（2）请写出金属棒在水平轨道运动时加速度的表达式（右侧磁感应强度用B₂表示）；
（3）试通过分析，描述金属棒到达水平轨道后的运动情况．

【推荐3】如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长且电阻不计的平行金属导轨相距L，导轨平面与水平面夹角为，上端连接阻值为R的电阻｡匀强磁场方向垂直导轨平面向下（图中未画出）。质量为m，电阻可忽略不计的金属棒放在两导轨上由静止开始释放，金属棒下滑过程中的最大速度为v_m，棒与导轨始终垂直并保持良好接触，且它们之间的动摩擦因数为μ（μ<tanθ）｡已知重力加速度为g，求：
(1)金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)当金属棒沿导轨下滑距离为s时，金属棒速度已达到最大值，则此过程中电阻R上产生的焦耳热为多少？