【推荐3】数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，如图，四边形ABCD为矩形，，AB上有一点E，连接CE，将沿CE折叠，点B的对应点为F．

(1)如图1．当点F正好落在对角线AC和BD的交点O处时，______；
(2)如图2，若点E是AB的中点，点F落在矩形ABCD内部时，延长CF交AD边于点G．
①探究AG，GF之间的数量关系，并说明理由；
②当G分AD边的比为时，请直接写出的值．

【推荐1】如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），顶点为点C．将抛物线绕点A旋转后得抛物线，其中顶点C的对应点为点E，点B的对应点为点D．

(1)当时，求抛物线的解析式；
(2)如图1，连结，，，当是直角三角形时，求a的值；
(3)如图2，是否存在外接圆面积的最小值，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明理由．

【推荐2】（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？
对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角小于乙的视角，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到的理由；
（2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大．
如图3，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点．
①若最大为，请求出当时，的长；
②若最大不超过，直接写出的取值范围．
   

【推荐3】如图①，点D为上方一动点，且．

(1)在左侧构造，连接，请证明；
(2)如图②，在左侧构造，在右侧构造，连接求证：四边形是平行四边形；
(3)如图③，当满足，，．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形；
（Ⅰ）求证：四边形是矩形；
（Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段的最大值．