【推荐1】如图，将两块腰长相等的三角尺（△ABC和△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°）
置于水平面上，直角边BC=EF=1cm，且始终紧贴在水平直线上．
（1）在图①中，当边DF与边AC重合时，AB与AE的大小关系是__________；
（2）将三角板ABC以1cm/s的速度从图①的位置沿直线向右平移，设平移的时间为t (s)，如图
②所示．当0＜t＜1时，DE分别交AC、AB于点G、H，DF分别交AB、BG于点P、Q，
连结BG、AE．
①求证：BG=AE；
②在平移过程中，是否存在某时刻t，使得以点D、G、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP＝DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请写出结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若BP＝2，请直接写出△DEP的面积．

【推荐1】如图，在四边形中，，对角线，相交于点，点在上，连接，，．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)点是的中点，连接，若，画出图形，直接写出与满足的数量关系．

【推荐2】【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．已知：如图1，D，E分别是的边，的中点．求证：，且．

（1）如图2，小明在研究了课本的证法后，想到了“延长至点F，使，连接”．
请你按照小明的提示完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】（2）如图3，在四边形中，，，E，F分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图4，在中，，，D是边的中点，E是边上一点．若平分的周长，则的长是        ．

【推荐3】如图，在菱形中，，E是边上一点，过点E作，垂足为点H，点G在边上，且，连接，分别交、于点M、N．
       
(1)已知，
①当时，求的面积：
②当时，求的值；
(2)延长交边于点P，当设，请用含x的代数式表示的值．

【推荐1】如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．
          
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式；
(3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在四边形中，，以为直径的与边相切于点E，与相交于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是平行四边形；
(3)若平分，且的面积为8，求的长．

【推荐3】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动．当点P不与点A、点B重合时，过点P作，其中点Q在上方，，以、为邻边作．设点P运动的时间为t（秒）．

(1)边的长为___________；点C到边的距离为___________．
(2)当点F落在边上时，求t的值．
(3)设线段与边BC交于点M，线段与边交于点N．当时，求的长．
(4)连结，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的值．

【推荐1】如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“韵三角形”，这条边叫做“韵三角形”的底边．

（1）等腰Rt△ABC　 　“韵三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图1，已知点P是正方形的边CD所在直线上的一个动点，AB＝4．
①△ABP　 　“韵三角形”（填“是”或“不是”），若△ABP是等腰三角形，则AP＝　 　；
②如图2，当点P在点C右侧，且tan∠BPC＝时，求AP的长；
③如图3，当点P在点C右侧，且BP＝时，将△ABP绕点A按逆时针旋转45°得到△AB′P′，AP′交直线CD于点Q，求AQ的长．

【推荐2】已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．
（1）求证：BD′=CE'；
（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求的值．

【推荐3】已知如图1，∠AOB=40°

(1)若∠AOC=∠BOC，则∠BOC=             ;
(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．