【推荐1】材料一：一个大于1的正整数，若被除余1，被除余1，被除余1……，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明礼”数（取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．
材料二：设，……，3，2的最小公倍数为，那么“明礼”数可以表示为（为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为（为正整数）
（1）求出最小的三位“明三礼”数；
（2）一个“明四礼”数与“明五礼”数的和为170，求出这两个数．

【推荐2】课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子：
第一组：；；
第二组：；；
第三组：；；；．
小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则：
(1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分：
①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加；
②异号两个数进行☆运算时，____________；
③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______；
(2)填空：______；______；
(3)若，求的值．

【推荐3】如图，从左边第一个圆圈开始向右数，在每个圆圈中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻圆圈中所填整数之和都相等．

(1)可求得______，第个圆圈中的数为______；
(2)若前个圆圈中所填整数之和为，则______；
(3)若取前个圆圈中的任意两个数，记作，，且，那么所有的的和为______；
(4)若取前个圆圈中的任意两个数，记作，，且，求所有的的和．

【推荐1】认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．

利用数轴探究下列问题：
(1)的最小值是       ，此时x的取值范围        ；
(2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是       ，此时x的值是        ；
(3)的最小值是       ，此时x的值是       ；
(4)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．

【推荐2】如图，点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离请你利用数轴回答下列问题：

（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示和1两点之间的距离为_______，数轴上表示和两点之间的距离为________．
（3）若表示一个实数，且，化简________．
（4）的最小值为________．
（5）的最大值为________．

【推荐3】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向右移动到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示．

(1)请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并写出A、B、C三点分别表示的数；
(2)把点A到点C的距离记为AC，则___________，___________；
(3)若点A沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？
(4)若点A以每秒的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒、的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试用含t的代数式表示．

【推荐1】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．

（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：

多面体	顶点数（）	面数（）	棱数（）
四面体		4	6
长方体	8	6	12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12

你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
（3）已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值．
（4）在（3）的情况下，又已知，求代数式的值．
（5）模型应用
有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数．

【推荐2】若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数．如，，都是对称数，最小的对称数是，但没有最大的对称数，因为数位是无穷的．
若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被整除；
设一个三位对称数为（），该对称数与相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数．

【推荐3】阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以，从而（当a＝b时取等号）．
阅读2：函数（常数m＞0，x＞0），由阅读1结论可知： ，所以当即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为，求当x＝__________时，周长的最小值为__________．
问题2：已知函数y₁＝x＋1（x＞－1）与函数y₂＝x²＋2x＋17（x＞－1），当x＝__________时，的最小值为__________．
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）

【推荐1】阅读材料：求1+2+2²+2³+…+2²⁰²⁰的值．
解：设 S=1+2+2²+2³+…2²⁰²⁰①，①×2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰²¹②，
②﹣①得2S﹣S=2²⁰²¹﹣1，即S=1+2+2²+2³+…+2²⁰²⁰=2²⁰²¹﹣1．
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+2⁵；
（2）求1+3+3²+3³+…+3ⁿ的值． (其中n为正整数)

【推荐2】已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．

【推荐3】观察下列等式：
（1）第1个等式：a₁=；   第2个等式：a₂=；
第3个等式：a₃=；   第4个等式：a₄=；
…
用含有n的代数式表示第n个等式：a_n=___________=___________（n为正整数）；
（2）按一定规律排列的一列数依次为，1，，， ，，…，按此规律，这列数中的第100个数是_______________．