【推荐3】如图（1），已知等边，点D，E分别是边，上的点，且，连接，交于点P．

(1)求证：；
(2)如图（2）连接，若点P恰好落在以为直径的圆上，求的度数；
(3)在条件（2）下，求的值．

【推荐1】（1）观察猜想
如图1，在中，，点D是的平分线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接．
①的值是 _________ ；
②射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数是 _________ ．
（2）类比探究
如图2，在中，，点D是的平分线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接．请写出的值及射线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，请直接写出当时， _________ ．
   

【推荐2】如图，等腰中，∠BAC=45度，AB=AC，CD⊥AB．点P为线段BC上的动点，过点P作PH⊥BC，PH交线段AC于点E，交线段CD于点F．

（1）请在图1中将图形补充完整，并探究CP于EF的数量关系．
（2）若将上述条件中“PH交线段AC于点E”，改为 “PH交线段CA延长线于点E”，你在（1）中得到的结论是否成立，若成立，请在图2中画图并证明；若不成立，请说明理由．

【推荐3】如图，△ABC是等边三角形，点P，Q在边BC上，AP=AQ．

(1)若∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
(2)若点Q关于AC的对称点为M，连接AM，PM．求∠AMP的度数．

【推荐1】如图，正方形中，为边上任意点，平分，交于点．

（1）如图1，当点恰好为中点，延长交的延长线于点，求证：；
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，当时，求证：．

【推荐2】已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线．

(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
(2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？
(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）．

【推荐3】如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点（不与点A、C重合），过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由；
（3）在第（2）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（不需说明理由）
（4）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能成为菱形吗？若能，请加以证明；若不能，则说明理由．

【推荐1】如图1，在中，已知，，点D，E分别在边，上，且，此时显然，成立．若保持不动，将绕点C逆时针旋转，旋转角为．

（1）如图2，当时，问：，是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）如图3，当时，延长交于点F，若，，则线段______（直接写出结果即可）

【推荐2】（1）如图1，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针方向旋转60°得到线段，连接．
①求证：；
②连接并延长交直线于点D．若，，求的长；
（2）如图2，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，，求长．