【推荐1】如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为，与相交于点，连结．设运动时间为．解答下列问题：

(1)求的长度（用含的代数式表示）；
(2)当时，求的值；
(3)设四边形的而积为，求与之间的关系式；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知：如图1，中，，，动点P从点C出发沿线段以的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段以的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t，以点Q为圆心，长为半径的圆Q与射线、线段分别交于点D、E．
尝试：当是等腰三角形时，求t的值；
探究：设，求与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
拓展：如图2，连接，当t为何值时，线段与相切？
延伸：如图2，若与线段只有一个公共点，求t的取值范围．
   

【推荐3】在中，，在的外部作等边，E 为 的中点，连接 并延长交 于点 F，连接．

(1)如图 1，若，则求和的度数；
(2)如图 2，的平分线交于点 M，交于点 N，连接 ，若 ，．
（Ⅰ）用 α 表示；
（Ⅱ）求证：①；②求证：

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²﹣x＋c（a≠0）与x轴交于点A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解（OA＜OB），点D（2，m）在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式及m的值；
(2)y轴上的点E，使AE和DE的值最小，则OE＝　 　；
(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了 　 　个单位；
(4)点M在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．

【推荐2】问题解决
（1）如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．则线段，的数量关系为__________，的度数为__________；
类比迁移
（2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且．
①判断线段之间的数量关系并说明理由；
②求的度数．
拓展探究
（3）如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值．

【推荐1】如图，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

(1)若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；
(3)直线y＝1与抛物线y＝x²＋bx＋c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．

【推荐2】平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．

发现（1）当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B？
（2）在OQ旋转过程中．简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值：
（3）如图，当点P恰好落在BC边上时．求α及S_阴影．

拓展如图．当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．

探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin α的值．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点(点P不与A，B两点重合)，连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．
(1)求证：△BOQ≌△POQ；
(2)若直径AB的长为12．
①当PE＝　 　时，四边形BOPQ为正方形；
②当PE＝　 　时，四边形AEOP为菱形．

【推荐2】如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝16，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长   
（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长   
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．