【推荐1】2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮到海岸最近的点的距离，，指挥中心立即制定三种救援方案
（如图1）：

①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，，

(1)通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
(2)事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．
①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间．
②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长．

【推荐2】在△ABC中，点P是平面内任意一点（不同于A、B、C），若点P与A、B、C中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点．

(1)如图1，若点P是△ABC内一点，∠A=55°，∠ABP=10°，∠ACP=25°，试说明点P是△ABC的一个勾股点；
(2)如图2，已知点D是与A、C两点的连线的夹角为直角，且∠DCB=∠DAC，若AD=3CD=3，BC=6，求AB的长；
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16，点D在AB上，且AD=BD=CD，点P在射线CD上．若点P是△ABC的勾股点，请求出CP的长．

【推荐3】点为线段上一点，分别以、为边在线段的同侧作正方形和，连接、．

(1)如图①，与的数量关系和位置关系分别为______，______
(2)将正方形绕着点顺时针旋转角
①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由
②若，．当正方形绕着点顺时针旋转到点、、三点共线时，求的长度．

【推荐1】如图①，在菱形中，与交于点，，，点是上一动点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段.

（1）求的长.
（2）若点，，在同一条直线上，求证：.
（3）如图②，以为边作等边，，求的长.

【推荐2】【探索发现】
如图1，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______．
【拓展应用】
如图2，在中，，BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值用含a、h的代数式表示；
【灵活应用】
如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角，直接写出该矩形的面积．

【推荐3】问题提出：
   
（1）如图1，已知和，，，其中，，，求和的面积．
问题探究：小凡同学是一名特别受好钻研数学的学生，他在数学老师的帮助下发现：对于任意三角形，其中一个内角和其对边都为定值时，当另两边相等时，该三角形面积达到最大．例如，如图2，在中，已知三角形内角和其对边都为定值，当时，的面积达到最大．请利用小凡同学的发现完成以下问题：
（2）如图3，在中，，点为的中点，，当面积最大时，求线段的值．
问题解决：
（3）如图4，已知等边，，，求四边形的面积的最小值．

【推荐1】已知直线：与轴交于点，点在直线上，且位于轴右侧某个位置．

(1)求点A坐标；
(2)过点作直线，交轴于点，当的面积为60时，求点坐标；
(3)在（2）问条件下，，分别为射线与上两动点，连接，，是否存在当为直角三角形同时为等腰三角形的情况，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

【推荐1】问题发现
如图1，在和中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE．

（1）填空：
①的值为______；
②的度数为______．
（2）类比探究
如图2，在和中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE．请求出的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在和中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE，M为DE中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出M点经过的路径长．

【推荐3】（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB＋PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PC＋PB；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．