【推荐1】如图，中，，，为上一动点，为延长线上的动点，始终保持，连接和，再将绕点逆时针旋转到，再连接．

(1)求证：；
(2)判断四边形的形状并证明；
(3)如图2，连接，为中点，，当从运动到点的过程中，的中点也随之运动，请直接写出点所经过的路径长．

【推荐2】已知在矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边，在的右侧作矩形，且，连接，．

   

(1)如图1，若，点E运动到的中点时，求的长．
(2)如图2，判断与有怎样的数量关系，并说明理由．

【推荐3】如图1， 中，，点为边上一动点，连接，过点作交于点．在点向点运动的过程中，设．根据学习函数的经验，现对函数随的变化而变化的情况进行探究，请将探究过程补充完整：
   
(1)通过取点、画图、测量或计算，得到了与的几组值，如下表：依据分析可得：①表中的______（精确到）；
②当时，的形状是______．
(2)在图2的平面直角坐标系中，以表格中各对的值为坐标描点，已画出的函数图象，请在图2同一坐标系中画出的大致图象．
(3)观察函数图象，各写出、图象的一条性质．
(4)进一步探究函数图象，当是等腰直角三角形时，直接写出的长．（精确到）

【推荐1】如图，在中，延长到，使，连接交于点，，，求的长．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．

(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)当时，求tanE；

【推荐3】如图，在正方形ABCD中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD于E．

(1)求证：AO⊥EO．
(2)连接DF，求tan∠FDE的值．