【推荐1】如图，在ABCD中，，，．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)的值为______．
(2)求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）
(3)当时，求△PCQ的面积．
(4)连接 AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值．

【推荐3】如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段的中点．点D与点C在的同侧，且．设点P的运动时间为t（秒）．

   
(1)线段的长为 （用含t的代数式表示）；
(2)当点D落在边上时，求的长；
(3)当与重叠部分是轴对称图形时，求t的值；
(4)当点D到任意两边距离相等时，直接写出t的值．

【推荐1】已知点为正方形的边上任意一点，连接，过点作于点，在的延长线上取点，使，连接．

（1）如图①，求证：；
（2）如图②，的平分线交于点，连接，求证：；
（3）若正方形的边长为2，当点为的中点时，连接，求的长．

【推荐2】（1）【问题情景】如图1，已知在正方形中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：．
（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由；
（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；
（4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长．

【推荐2】如图①，是的直径，，点在上且位于直线上方，将半径绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连结，．

(1)以为边的内接正多边形的边数为________；
(2)当直径平分时，求的长；
(3)连结，当时，求的长；
(4)如图②，连结并延长，交的延长线于点，当是等腰三角形时，直接写出扇形的面积．

【推荐3】 若边长为6的正方形绕点A顺时针旋转，得正方形，记旋转角为α．

(1)如图1，当时，求点C经过弧的长度和线段扫过的扇形面积；
(2)如图2，当时，与的交点为E，求线段的长度；
(3)如图3，在旋转过程中，若F为线段的中点，求线段长度的取值范围．

【推荐1】筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．

             

（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．（参考数据：，，）

【推荐2】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其它条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．

【推荐3】如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD₁E₁叠放在一起．

（1）操作：固定△ABC，将△CD₁E₁绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；
（2）操作：固定△ABC，若将△CD₁E₁绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的△CDE设为△PQR，如图3．
探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；
（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长．