【推荐1】如图，为矩形的对角线，的平分线交于点，交的延长线于点，点是线段上的动点，以为对角线作正方形（点，，，按顺时针方向排列）．

(1)求证：；
(2)已知，．
①如图，若点落在边上，求的值；
②在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形的某边落在的一边上？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，中，，，，点为射线上的动点，以为边，在的同侧作菱形，使得．若菱形的边经过线段的中点．
（1）将菱形沿射线向右平移，记平移中的菱形菱形，当点与点重合时停止平移．设平移的距离为，是否存在这样的，使△BDE是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（2）在（1）问的平移过程中，设菱形与重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式以及自变量的取值范围．

【推荐1】如图， 内接于⊙O，OC=10． 过点C作于点E，交⊙O于点D,延长AC和DB交于点F，连接AO、CO． CO与AB相交于点G，．

(1)求证：AB平分
(2)已知．
①求BD的长
②将圆心O绕着B旋转得到点P，
若点P恰好落在的某边上，求OP的长．

【推荐2】如图，一张半径为的圆形纸片，点为圆心，将该圆形纸片沿直线折叠，直线交于两点．
   
（1）若折叠后的圆弧恰好经过点，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段的长度．
（2）已知是一点，．
①若折叠后的圆弧经过点，则线段长度的取值范围是________．
②若折叠后的圆弧与直线相切于点，则线段的长度为_________．

【推荐1】已知：为的直径，为圆心，点，分别为圆上一点，且，连接交于点，连接．．

(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，点为内部一点，连接，，若时，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，的半径为10，求的长．

【推荐2】如图，为的直径，弦 于点E，G为劣弧上一动点，与的延长线交于点F，连接．．
   
(1)求证: ；
(2)若 求y与x的函数关系式；
(3)设
①求α与β的数量关系；
②当 且 时， 求x的值．

【推荐3】如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点；连结、、，设点的运动时间为秒．

(1)线段的长为_____；
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时的值；
(4)当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．

【推荐1】如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE的值．

【推荐3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．

（1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD＝FG．
②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．