【推荐1】已知正方形的边长为6，动点分别在边上运动，连接．
       
(1)如图1，过作交边于点，交于点．
i）若为的中点，为的中点，求的长；
ⅱ）探索线段之间的数量关系，写出你的结论并证明．
(2)如图2，将四边形沿翻折得到四边形与相交于点，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点．
i）若点到的距离，求的长；
ⅱ）点到的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由．

【推荐2】菱形对角线AC与BD交于点O，若，过点A作于点M，交BD于点N．

(1)如图1，若，求AN的长度．
(2)如图2，延长AM交DC延长线于点P，求证：．
(3)如图3，若，在线段AB上取一点E，使得，连接CE，在CE上任取一点G，R为线段AC边上动点，当取最小值时，直接写出四边形的面积．

【推荐3】如图，四边形中，，点E在上，连接交于点K，于点F，交于点U，G为的中点，连接，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的长．

【推荐1】小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：．
   
(1)请你解答小明的这道题；
(2)在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”）
(3)如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；
(4)连接，．
①求证：是定值；
②求的最小值（直接写出答案即可）．

【推荐3】在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内．

(1)如图1，．
①若是以AC为斜边的直角三角形，且．请在图（1）中利用圆规、无刻度直尺作出点C的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点C的坐标________；
②若是等边三角形．求点C的坐标；
(2)如图2，是等边三角形，点C在以为圆心，半径为r的圆上．若存在两个满足条件，求r的取值范围．

【推荐1】如图，、为圆的两条弦，直线、垂直于点，连接，直线于点，直线交直线于点．
   
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，若点在圆内部，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长，交圆于点，连接并延长，交于点，交圆于点，与交于点，交于点，交于点，若，，，求圆的半径．

【推荐2】如图， 在平行四边形中， 连接 以为直径的交于点 交于点 连接交于点 连接.

(1)求证： .
(2)若 求的值与的长.
(3)在（2）的条件下， 连接 若分别是四边形相邻两条边上的点， 当 四个点组成的四边形为平行四边形时 求所有满足条件的的长.

【推荐2】如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；
(4)如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．