【推荐1】如图，在中，，点在边上，点在边上，且，连接，当时，求的度数．

【推荐2】如图，在中，．
   
(1)请用尺规作图法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，是的反向延长线上一点，过点作交线段于点．若，，求的度数．

【推荐3】请认真完成下列的数学活动
我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
   
●尝试探究（1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系．
●初步运用（2）如图②，在纸片中前去，得到四边形．若，则___________．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为________________（请利用上面的结论直接写出答案）．
●拓展提升（3）如图④，在四边形中，，分别平分外角，，设．
①试说明与的数量关系；
②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）．

【推荐1】如图，是的直径，延长到点，使．是上一点，，交于点，连结．
   
(1)如图1，当时，求证：是的切线；
(2)如图2，连接．设，，求的值．

【推荐3】已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．

(1)若，
①如图1，若，直接写出点的坐标                   ；
②如图1，若点为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分；
(2)如图2，若为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到．
①连接，判断的形状，并证明．
②连接，当                 ，线段最短．

【推荐1】是等边三角形，点E是射线上的一点（不与点B，C重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M．

(1)如图1，当点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当，时，请直接写出的长．

【推荐2】已知：如图，四边形是正方形，是对角线，平分交于点E，交于点M，点F是延长线上一点，且．
   
(1)求证：且；
(2)若正方形的边长为2，求．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．

【推荐2】如图，BC是半圆的直径，ADBC，垂足为点D，弧BA=弧AF，BF与AD交于点E．
   
(1)求证：AE=BE；
(2)若点A、F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．

【推荐3】如图，AD为⊙O的直径，CD为弦，＝，连接OB．

(1)求证：OBCD；
(2)若AB＝15，CD＝7，求⊙O的半径．