【推荐3】问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点C，B，E三点共线），其中点B与点D重合（标记为点B）．连接，取的中点M，过点F作交的延长线于点N，连接，此时E、F、N在同一直线上．

(1)与的数量关系为       ；的形状为       三角形；
(2)深入探究：杨老师将图2中的绕点B顺时针方向旋转．
①当点C，B，E三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题．
“洞察小组”提出问题是（1）中形状的结论是否仍然成立？若成立，请你证明；若不成立，请你写出新的结论，并证明；
②“思考小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点B顺时针方向旋转一周过程中，连接，点G为中点，的最大值为       ；当最小时，请直接写出点F到直线的距离．

【推荐2】已知，如图1，在正方形中，点在对角线上，过点的直线交于点，交于点，连接．
若，求；
求证：；

如图2，正方形的边长为个单位长度，连接，若的中点恰好在线段上，求的长．

【推荐3】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．

(1)如图1，当点D在线段上，如果，则____________度；
(2)设，．
①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________；
②如图2，当点D在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由．
③当点D在直线上移动时，请直接写出，之间的数量关系

【推荐1】在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”．

(1)已知点．
①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______；
②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长；
(2)已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．

【推荐2】如图，四边形是的内接四边形，为对角线，．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点O作于点F，交于点E，连接并延长交于点P，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作交于点G，连接交于点H，若，求的面积．

【推荐3】如图①，已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设AP＝x．
（1）BQ＋DQ的最小值是_______，此时x的值是_______；
（2）如图②，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD＝90°．
①求证：点E是CD的中点； ②求x的值．
（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．

【推荐2】把△ABC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（-6，0），点C的坐标为（8，0），M，N分别是线段AB，AC上的点，将△AMN沿直线MN翻折后，点A落在x轴上的A′处．

Ⅰ当MN∥x轴时，判断△A'CN的形状．
Ⅱ如图，当A'M⊥AB时．
①求A'的坐标；②求MN的长．
Ⅲ当△A'MB是等腰三角形时，直接写出A'的坐标．

【推荐3】．如图（1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).
试探究线段EF与EG的数量关系.

(1)如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是                  
证明:
(2) 如图（3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是                  
证明
(3)如图（1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是                  
(写出关系式,不必证明)