【推荐1】在矩形中，，，点是直线上的一个动点，连接，过点作于点，交射线于点．
                                                                      
（1）如图，点在线段上，求证：；
（2）在点的运动过程中，是否存在使、、、四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出相应的长，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．
   
(1)外接圆的圆心的坐标是______；
(2)求该圆圆心到弦的距离；
(3)以所在直线为旋转轴，将旋转一周，求所得几何体的表面积．

【推荐3】如图：边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为，PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G．

(1)求证：；
(2)求四边形OEBF的面积；
(3)求证：

【推荐1】如图，是的直径，是的切线，是的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．

(1)求证：；
(2)若⊙O的半径，，求线段的长．

【推荐2】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，且DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）∠A=45º，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．

【推荐3】如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，∠B＝2∠CAD，在BC的延长线上有一点P，使得∠P＝∠ACB，弦AD交直径BC于点E．
（1）求证：DP与⊙O相切；
（2）判断△DCE的形状，并证明你的结论；
（3）若CE＝2，DE＝，求线段BC的长度．

【推荐1】如图，在正方形中，，交、于、，交于、．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：．

【推荐2】如图，是等边三角形，、在直线上，，求证：．

【推荐3】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋
转角为(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

(1)如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．证明：△A₁CD是等边三角形；
(2)如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA₁和△BCB₁的面积分别为S₁、S₂．求证：S₁∶S₂＝1∶3；
(3)如图3，设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝       °时，EP的长度最大，最大值为       ．

【推荐1】如图，在梯形中，∥，∠=90°，，
⑴求的长；
⑵若∠的平分线交于点，连结，求∠的正切值．

【推荐2】如图，⊙O中，点A为中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若，AB=6，求sin∠ABD的值．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；
（3）在题（2）的条件下，是否存在某一时刻，使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3：4？如果存在，请求出t的取值；如果不存在，请说明理由．