综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线
经过x轴上的点
和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，则
的最大值是______；
(3)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．设运动时间为t秒且（
），求t为何值时，
的面积最大并求出最大值；
(4)过点A作
于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的横坐标．
经过x轴上的点和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，则
的最大值是______；(3)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．设运动时间为t秒且（
），求t为何值时，的面积最大并求出最大值；(4)过点A作
于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的横坐标．
更新时间：2022-05-17 07:32:29
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【推荐1】如图，抛物线
与x轴交于点
和点
，与y轴交于点
，作直线
．
(2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点P，过点P作
轴与交于点E，过点P作
轴与y轴交于点F，求
的最大值和此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，已知点M为新抛物线上的一点，且
，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标．
与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线．
(2)如图1，已知直线
上方抛物线上有一点P，过点P作轴与交于点E，过点P作轴与y轴交于点F，求的最大值和此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，已知点M为新抛物线上的一点，且
，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标．
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【推荐2】如图，抛物线
的对称轴为直线
，并且经过点
，交
轴于另一点
，交
轴于点
．
(2)在直线上方的抛物线上有一点P，求点P到直线距离的最大值及此时点P的坐标；
(3)在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得
为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
的对称轴为直线，并且经过点，交轴于另一点，交轴于点．
(2)在直线
上方的抛物线上有一点P，求点P到直线距离的最大值及此时点P的坐标；(3)在直线
下方的抛物线上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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【推荐3】【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高
为1.5米．的值．（仅 结果保留整数）（参考数据：
，
，
）
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（
）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______．
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式．
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高
为1.5米．
的值．（，，）【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（
）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______．
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间t（秒） | 0 | 1.5 | 1.75 | 2 | 2.25 | 2.5 |
响度x（分贝） | 0 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．
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解题方法
【推荐1】在平面直角坐标系中，B(2，2
)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
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【推荐2】如图，一条河流的
段长为
，在
点的正北方
处有一村庄
，在
点的正南方
处有一村庄
，计划在上建一座桥
，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设
，则
，则
，根据（1）中的结论可以求出当
______时，
的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①
的最小值______；
②
的最小值为______．
段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；(2)小明发现：设
，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①
的最小值______；②
的最小值为______．
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（
是常数）．
个公共点；
最小？若存在，求出点
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【推荐1】如图，已知抛物线经过点
、
，且与轴交于点，抛物线的顶点为
，连接，点
是线段上的一个动点（不与、）重合．
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
(2)过点作
轴于点
，求面积的最大值及取得最大值时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点
是轴上一动点，点
是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
经过点、，且与轴交于点，抛物线的顶点为，连接，点是线段上的一个动点（不与、）重合．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点
的坐标；(2)过点
作轴于点，求面积的最大值及取得最大值时点的坐标；(3)在（2）的条件下，若点
是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
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【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，-1），点B的坐标为（3，-3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．
（1）求抛物线及线段OB所在直线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①求△BOD 面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
②当△OPC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
（1）求抛物线及线段OB所在直线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①求△BOD 面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
②当△OPC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
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(0.4)
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【推荐3】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过A(-1，0)和B(3，0)两点，点C(0，-3)，连接BC，点Q为线段BC上的动点．
(1)若抛物线经过点C；
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，AQ，△PAQ与△PBQ面积记为S1，S2，若S=S1+S2，当S最大时，求点P坐标；
(2)若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG=BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG最小值为
时，求抛物线解析式．
(1)若抛物线经过点C；
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，AQ，△PAQ与△PBQ面积记为S1，S2，若S=S1+S2，当S最大时，求点P坐标；
(2)若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG=BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG最小值为
时，求抛物线解析式．
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【推荐1】如图，O为平面直角坐标系坐标原点，抛物线
经过点
，点
与x轴交于另一点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)D点为第一象限抛物线上一点，连接、，设点D的横坐标为t，
的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，P为第四象限抛物线上一点，连接
交y轴于点E，点F在线段上，点G在直线上，若
，四边形
为菱形，求点P的坐标．
经过点，点与x轴交于另一点．(1)求抛物线的解析式；
(2)D点为第一象限抛物线上一点，连接
、，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，P为第四象限抛物线上一点，连接
交y轴于点E，点F在线段上，点G在直线上，若，四边形为菱形，求点P的坐标．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，抛物线
与x轴交于
和
，与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H．
(2)如图1，在抛物线上是否存在一点M（异于点B）使得
？若存在，请求出M的坐标，不存在，说明理由；
(3)如图2，当点E在抛物线上运动时，在直线上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
与x轴交于和，与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H．
(2)如图1，在抛物线上是否存在一点M（异于点B）使得
？若存在，请求出M的坐标，不存在，说明理由；(3)如图2，当点E在抛物线上运动时，在直线
上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
您最近一年使用：0次
与x轴交于点A和点
两点，与y轴交于点 
轴， 垂足为D，连接PC．
，求点 P的横坐标；
交直线
的对称点
落在
的周长．
