【推荐1】如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！

【探究一】如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．

【探究二】阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高，那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．

【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由．

【推荐2】如图，在正方形中，是上的一点，连接，过点作交外角平分线于．

(1)若，求的长；
(2)如图2，连接，交边于点F，连接．求证：平分．

【推荐3】综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)问题初探：如图1，在和中，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：________，_______；
(2)类比分析：如图2，在和中，，当，连接．延长交于点D．连接，求证平分；
(3)学以致用：如图3，正方形ABCD和等腰直角，连接并延长交于G，交于点，将绕A点旋转至时，若，则的长是________．

【推荐1】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC．

(1)求b，c的值．
(2)点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线，交BC于点D，连接PB，设，的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．
(3)若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标．

【推荐2】等腰△ABC中，BA＝BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED＝2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．

(1)如图1，当∠EBC＝90°时，若∠BAD＝45°，BE＝2，求线段DC的长；
(2)如图2，当∠EBC＞90°时，过点F作FG⊥AC，分别交AC，AD于点G，H，若AD＝2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB﹣3BP＝DH；
(3)如图3，在（1）问的条件下，BE上取点O，BO，点M，N为线段BD上的两个动点（点M在点N的左侧），连接AN，将△AND绕点D逆时针旋转得到△A′N′D，若满足A′D⊥AN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出△OMP的面积．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M的坐标为（0，t），△EFG的面积为S．

（1）求S与t的函数关系式；
（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；
（3）当点G关于直线EF的对称点G′恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接写出t的值．

【推荐1】如图，在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为16，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值之和．

【推荐2】在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，．

(1)如图1，当点落在的延长线上时，连接，求的长；
(2)如图2，连接，与边交于点，当，求的值；
(3)如图3，连接，点为的中点，点为的中点，连接.在旋转过程中，若为以为直角边的直角三角形，求的长．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），与轴交于点，已知，，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点为下方抛物线上一动点，连接、，当时，求点的坐标；
(3)如图2，点为线段上一点，求的最小值．