【推荐1】综合与实践
问题情境：
如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连，取的中点M，的中点N，连接、．
特例感知：
（1）若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边、上，请判断与之间的数量关系，并加以证明；
深入探究：
（2）若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在、的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值．

【推荐2】如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点在上，连接．

(1)如图1，当时，则线段与线段的数量关系是＿＿，位置关系是＿＿；
(2)如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，分别取线段，的中点，，连接，，，若，，求出的面积．

【推荐3】如图，中，

(1)将绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形；
(2)若，，点A旋转后的对应点为，求的长．

【推荐1】P是边长为4的正方形ABCD的边BC上任意一点，过B点作BG⊥AP于G，过C点作CE⊥AP于E，连BE.

（1）如图1，若P是BC的中点，求CE的长；
（2）如图2，当P在BC边上运动时，（不与B、C重合）求(AG-CE)/BE的值；

【推荐2】已知正方形，E，F为平面内两点．
【建模探究】（1）如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：；
【类比应用】（2）如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线，求证：．
      

【推荐3】如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为G．求证：．

【推荐1】如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：．

【推荐2】已知、、、顺次在圆上，，于点，求证：．

【推荐3】如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．

【推荐1】有一块含30°角的直角三角板OMN，其中∠MON＝90°，∠NMO＝30°，ON＝2，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC的顶点B与点O重合，BC边落在OM上，点A恰好落在斜边MN上，将等边△ABC从图1的位置沿OM方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与斜边MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）（0＜t＜6）．
（1）等边△ABC的边长为　 　；
（2）在运动过程中，当　 　时，MN垂直平分AB；
（3）当0＜t＜6时，求直角三角板OMN与等边△ABC重叠部分的面积S与时间t之间的函数关系式．

【推荐3】如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．

（1）求证：；
（2）若AB＝12，BC＝10，求的长．