【推荐1】如图1，已知直线，点C为，内部的一个动点，连接，，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点A，和交于点F．

(1)，猜想和的位置关系，并证明；
(2)如图2，在（1）的基础上连接，则在点C的运动过程中，当满足且时，求的度数．

【推荐2】已知：在中，．过边上的点D作，垂足为点E．为的一条角平分线，为的平分线．

(1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含的代数式表示∠H，并说明理由；
(3)如图3，若，点G在边上，与交于点M，用含的代数式表示，则　　．

【推荐3】四边形是正方形，是等腰直角三角形，．G为的中点，连接．
   
(1)如图，若点E在边的延长线上，试判断与的位置与数量关系，并证明．
(2)将绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程．若不成立，请说明理由．

【推荐1】【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为　 　；
②∠AMB的度数为　 　；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离．

【推荐3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，点D为斜边AB上动点．

（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；
（2）如图2，当AD=AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；
（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度．

【推荐1】如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图放置，顶点Р在线段上滑动（且不与A、B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．
   
(1)当______°，，此时______°
(2)点Р在滑动时，当长为多少时，与全等，为什么？
(3)点Р在滑动时，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角的大小；若不可以，请说明理由．

【推荐2】如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．

（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）设的长为，发挥你的空间想象力，观察因动点、的运动而得到的图形变化的全貌，指出关于的函数图象大致为（       ）
A． B． C． D．
（3）在（2）的条件下，求出与的函数关系式，并求出的最大值．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E
(1)判断四边形AMCD的形状，并说明理由；
(2)求证：ND＝NE；
(3)若DE＝2，EC＝3，求BC的长．

【推荐2】如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N．
（1）操作发现：如图2，固定点P，使△PEF绕点P旋转，当PM⊥BC时，四边形PMCN是正方形．填空：①当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是_________；②当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是__________．
（2）猜想论证
如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，则=_______．
（3）拓展探究
如图4，当四边形ABCD满足条件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使△PEF绕点P旋转，请探究的值，并说明理由．

【推荐3】如图，在矩形中，，点是上一点，且，是边上的动点，以为边作矩形，使，矩形是矩形关于对角线的轴对称图形．

(1)当时，求矩形的面积；
(2)当点落在上时，求；
(3)在从到的运动过程中，
当落在边上时，求的长；
当矩形与矩形的边只有两个交点时，直接写出的取值范围．