【推荐1】【初步探究】
（1）如图①，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，、判断的形状，并说明理由；
【解决问题】
（2）如图②，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点、，使得点、、是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法；
【拓展应用】
（3）如图③，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点的坐标是________；
（4）如图④，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是_________．[注：在平面直角坐标系内，，，则]

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．△AOB是等边三角形，点B在第一象限．
（1）如图①，求点B的坐标；
（2）点P是x轴上的一个动点，连接AP，以点A为旋转中心，把△AOP逆时针旋转，使边AO与AB重合，得△ABD．
①如图②，当点P运动到点（，0）时，求此时点D的坐标；
②求在点P运动过程中，使△OPD的面积等于的点P的坐标（直接写出结果即可）．

【推荐3】如图，在直角坐标平面内有两点、，且、两点之间的距离等于（为大于0的已知数），在不计算的数值条件下，完成下列两题：

（1）以学过的知识用一句话说出的理由；
（2）在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，请写出点的坐标，并求的面积；如果不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在中，，，点是射线上的动点（不与点，重合），连接，过点在左侧作，使，连接，点，分别是，的中点，连接，，．

(1)如图1，点在线段上，且点不是的中点，当，时，与的位置关系是 ___________，=___________．
(2)如图2，点在线段上，当，时，求证：．
(3)当，时，直线与直线交于点，若，，请直接写出线段的长．