【推荐1】如图，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，BC=2，求⊙O的半径．

【推荐2】如图，已知M在x轴上，与x轴交于A，D两点，与y轴正半轴交于B，点C是上一点，且，

(1)圆心M坐标为      ；（直接写出）
(2)求的正切值；
(3)过点C作弦，交于点E，当，则长=       （直接写出）．

【推荐3】如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)如图1，如果，求的值；
(3)如图2，如果，求的余弦值．

【推荐1】如图1，点在射线上，且，过点在射线上方作射线，且，点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点到达点时，点，都停止运动．以点为圆心，为半径的半圆与射线交于点，与射线交于点，连接，，设运动时间为秒（）．

(1)用含的式子表示的长为___________；当点与点重合时，的长为___________；
(2)若与半圆相切，求的长；
(3)如图2，当时，与半圆的另一个交点为，连接，求的度数及的长；
(4)若半圆与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．

【推荐2】如图，在中，点在上，且，过点且与相切于点，与相交于点，．

(1)求的度数．
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，与相切于点C，点P在直径的延长线上，于点D，连接，．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径长．（温馨提示：用简单的方式表示角）

【推荐1】如图，在中，，是边上一点，以为圆心，OA为半径的圆分别交AB,AC于点E,D，在的延长线上取点，使得，与交于点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）OA=4, ∠A=30°，求图中线段DG、线段EG与弧DE围成阴影部分的面积．

【推荐3】如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．

(1)求证：；
(2)若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形的形状，并说明理由；
②当时，求，与围成阴影部分的面积．

【推荐1】当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角．
（1）如图1，墙角=30°，如果AB=3，长度不变，在角内滑动，当OA=6时，则求出此时OB的长度．
（2）如图2，墙角=30°，如果在AB的右边作等边，AB=3，长度不变，滑动过程中，请求出点O与点C的最大距离．
（3）如图3，墙角=时，如果点E是一条边上的一个点，=90°，其两条边与另一条边交于点F与点D，求的最大值．

【推荐2】已知：如图，在矩形中，是对角线，，．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作于点M，连接，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
(1)当t为何值时，点Q在线段的中垂线上；
(2)写出四边形的面积为S（）与时间t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)当t为何值时，与相似．

【推荐3】在平面直角坐标系中，点A（m，n），C（n，0），且m、n满足

(1)求A、C两点坐标；
(2)若点P以每秒2个单位的速度从点C出发在射线CA上运动，点P的运动时间为t秒，过点P沿x轴正方向作射线PE，使PEx轴，请直接写出∠APE、∠OAC、∠AOC的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若AC = 5，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接OP、AQ，是否存在某一时刻，使，若存在，请求出t值，并写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．