【推荐1】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C．

   

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的−个动点，使的面积等于面积的，求点P的坐标；
(3)过点C作直线轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象（如图2），请你结合新图象解答：当直线与新图象只有一个公共点，且时，求d的取值范围．

【推荐2】已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接，，且，如图所示．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连接、，求的面积的最大值；

②连接，求的最小值．

【推荐3】如图，已知抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴交于点顶点为D．

(1)求抛物线的函数关系式；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)点P在抛物线上，点Q在直线上，是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，连接，点为上方抛物线上的一个动点，过点作于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值；
(3)如图2，将抛物线沿轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B与y轴交于点，对称轴为，点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，，连接．

   

(1)求此抛物线的解析式；
(2)当时，求m的值，并直接写出的面积；
(3)设此抛物线在点C与点P之间部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点C与点Q之间部分（包括点C和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出m的值．

【推荐1】已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．

（1）求证：
（2）如图2，在延长线上，且，求证：

（3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，求的长．

【推荐2】如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E为BC上一点，且BE=4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动.连结DF，DE, EF. 过点E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t(不考虑D、E、F在一条直线上的情况).

(1) 填空：当t=      时，AF=CE，此时BH=         ；
(2）当△BEF与△BEH相似时，求t的值；
(3）当F在线段AB上时，设△DEF的面积为S,△DEF的周长为C.
① 求S关于t的函数关系式；
② 直接写出周长C的最小值.

【推荐3】我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A按逆时针方向旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

（1）特例感知：在图2、图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=______BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为______．
（2）精确作图：如图4，已知在四边形ABCD内部存在点P，使得△PDC是△PAB的“旋补三角形”（点D的对应点为点A，点C的对应点为点B），请用直尺和圆规作出点P（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
（3）猜想论证：在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

【推荐1】如图，抛物线：与x轴交于A、B（A在B左侧），顶点为C（1，－2），
   
（1）. 求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B的坐标
（2）. 求过A、B、C三点的圆的半径.
（3）. 在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线上有一点，过点作轴的平行线分别交轴和直线于点和，点的横坐标为，过点作直线与点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点是线段的中点时，求的值；
（3）如图2，线段是直线上的动线段，（点在点的左侧），，若点的横坐标为，过点作轴的垂线与轴交于点，过点作轴的垂线与抛物线交于点．
①（_____，______）
②以为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（0，3），C（1，0）．
（1）求抛物线及直线AB的函数关系式；
（2）有两动点D、E同时从O出发，以每秒1个单位长度的相同的速度分别沿线段OA、OB向A、B做匀速运动，过D作PD⊥OA分别交抛物线和直线AB于P、Q，设运动时间为t（0＜t＜3）．
①求线段PQ的长度的最大值；
②连接PE，当t为何值时，四边形DOEP是正方形；
③连接DE，在运动过程中，是否存在这样的t值，使PE=DE？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．