【推荐1】如图，中，，点在上，点在外部，且，，点在上，且，连接．
   
(1)求证：．
(2)若，且，求的长．

【推荐2】已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．

   

(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，求的值．

【推荐3】求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）
   

【推荐1】如图，已知锐角中，．
   
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，的半径为5，求的长．（如需画草图，请使用图2）

【推荐2】教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．

例2如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点． 求证：． 证明：连接．

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
证明：连接．
   
结论应用：
（1）如图②，在中，，，、分别是边、的中点，、相交于点．若，则　　．
（2）如图③，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．过点G作交AB于点F，如果的面积是9，那么的面积是 　　．

【推荐3】如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．

(1)若，，G为中点，求的长；
(2)求证：是等腰三角形．

【推荐1】在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数的图象与边相交于点M（点M不与点B重合），与边相交于点N．
   
(1)如图①，若点B的坐标为，M为中点，求k的值和点N的坐标．
(2)如图②，连接，过点M作，垂足为Q．若，时，设长为m，长为n，求m与n的函数关系式．

【推荐2】如图，在矩形中，，，为对角线．点为线段上一动点，点从点出发，向点匀速运动，速度为；点为上一动点，过点作的垂线，交于点，交于点，点从点向点运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动；设运动时间为．

(1)当为何值时，？
(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，矩形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点，重合，过点作射线交轴于点，交轴于点，使得．

   

(1)如图①，若为等腰直角三角形，求点的坐标．
(2)如图②，过点作交轴于点，连接，．若四边形是平行四边形，求的坐标．

【推荐1】如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，．

（1）求证：；
（2）当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

【推荐2】如图，在▱ABCD中，AD＞AB，AM、BN、CP、DQ为四个内角的角平分线，P、为AD边上两点，其中AM与DQ相交于E，BN与CP相交于F，AM与BN相交于G，CP与DQ相交于H．

（1）求证：四边形EHFG是矩形．
（2）▱ABCD满足　时，四边形EHFG为正方形；▱ABCD满足　时，F点落在AD边上．（与点P、点N重合）
（3）探究矩形EHFG的对角线长度与▱ABCD的边长之间的数量关系，并证明．

【推荐3】如图，中，，、分别在、的延长线上，且，于，于，连接．

求证：四边形是矩形；
若，且四边形是正方形时，求的值．