【推荐1】【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．

(1)【问题】填空：　　；
(2)当时，求的值；
(3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．

【推荐2】如图，，，、交于点，求证：．

   

【推荐3】阅读下列材料，解答问题：
定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线．

(1)如图1，已知△ABC中，，BM为△ABC的完美分割线，且，则        °，        °；
(2)如图2，已知△ABC中，，求证：AN为△ABC的完美分割线；
(3)如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB＝AC，AN是它的一条完美分割线，且，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点处，交BN于点M．求证：．

【推荐1】在四边形中（见图），线段长，为直角，为，，而且点到边的垂线段的长为，线段的长为，求四边形的面积．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在直线m上，以点O为圆心，为半径的交x轴于点C、D（点C在点D的左侧），与y轴负半轴交于点E，连接，交x轴于点F，且．

(1)判断直线m与的位置关系，并说明理由：
(2)求的度数：
(3)若点Q是直线m上位于第一象限内的一个动点，连接交x轴于点G，交于点H，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，x轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点P与点Q为关联点．

(1)在点，中，与为关联点的是___________________；
(2)如图2，，，．若线段上存在点Q，使点P与点Q为关联点，结合图象，求m的取值范围；
(3)已知点，﹒若线段上至少存在一对关联点，直接写出n的取值范围．

【推荐1】如图，已知的对角线交于点O，过点O且与分别相交于点E、F．
   
(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐2】已知，四边形为平行四边形．

(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点，交的延长线于点，连接．在线段上取一点，使，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，若，求证：．
证明：垂直平分，，___①___．
．，___②___．
四边形为平行四边形，___③___．
．．
在和中，，
．．

【推荐3】如图，的对角线，相交于点，点，在上，且．

(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为12，求四边形的周长．

【推荐1】如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，
①当四边形是菱形时，求的长；
②当______时，四边形是矩形．

【推荐2】如图所示，在长方形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以1厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以2厘米/秒的速度移动，如果同时出发，用(秒)表示移动的时间．

(1)为何值时，为等腰直角三角形？
(2)求四边形的面积，并探究一个与计算结果有关的结论．