【推荐1】已知等腰中，，，过点C作交的延长线于点D，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在的延长线上运动，运动时间为t秒，连接，以为边，在的左侧作等边，连接．

(1)如图1，线段________；
(2)①如图1，当时，求线段的长；
小亮发现此时，于是大胆猜想：．为验证其猜想，小亮在上取一点G，使得，连接，就能验证其猜想并求出线段的长，请你按照小亮同学的分析写出完整的解答过程；
②如图2，当时，猜想线段、与的数量关系，并求出此时线段的长；
(3)在点P运动过程中，连接，当点P运动________秒时（直接写答案），线段长度最小．

【推荐3】问题背景：如图1，在等边中，点为边上一个动点（点不与，重合），连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．探究、、之间的数量关系．小明同学的探究思路是：过点作，交边于点（如图2），易证是等边三角形，并且，所以，从而．

(1)结论应用：
①在图1中，若，，则______cm；
②在图1中，若，点为的中点，则的最小值为______cm；
(2)类比探究：如图3，若点为等边边延长线上一点，连接，把绕点顺时针旋转60°到，连接．若，，求的长．
(3)拓展延伸：如图4，是等腰直角三角形，，，点为边上一个动点（点不与、重合），连接，把绕点顺时针旋转90°到，连接．直接写出、、之间的数量关系．

【推荐2】如图（1），把两个大小完全相同的矩形和拼成“L”形图案，若，，连接、．

(1)线段和线段的数量关系为________．（填空）
(2)保持矩形不动的条件下，将矩形绕点按顺时针方向旋转．
①如图（2），第（1）问的结论是否仍然成立；若成立，证明之；若不成立，说明理由；

②如图（3），直线与相交于点，连接，当时，求的长度．