介绍一个“能被13整除的数的特征”的数学小知识：一个多位数
（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为
，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如数字160485，这个数末三位是485，末三位以前是160，
，
．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．（注：这个规律也适用于11和7）
(1)
______，
______（填能或不能）被13整除．
(2)试证明这个“能被13整除的数的特征”的数学原理．
(3)若m，n均为13的倍数，且
，
，（
，
，
，且a，b，c均为整数）．规定
，当
时，直接写出
的值．
（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如数字160485，这个数末三位是485，末三位以前是160，，．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．（注：这个规律也适用于11和7）(1)
______，______（填能或不能）被13整除．(2)试证明这个“能被13整除的数的特征”的数学原理．
(3)若m，n均为13的倍数，且
，，（，，，且a，b，c均为整数）．规定，当时，直接写出的值．
更新时间：2023-01-30 20:56:49
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【推荐1】先观察下列各式，再完成题后问题：
；
；
（1）①写出：
________
②请你猜想：
________
（2）求
的值；
（3）运用以上方法思考：求
的值．
；；（1）①写出：
________②请你猜想：
________（2）求
的值；（3）运用以上方法思考：求
的值．
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【推荐2】数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为
．
根据以上知识解题：
(1)若数轴上两点M、N表示的数分别为
，
①M、N之间的距离可用含x的式子表示为
__________；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为____________．
(2)
的最小值为_____________，此时x的取值范围是_________；
(3)若
，则
的最小值为_________．
．根据以上知识解题：
(1)若数轴上两点M、N表示的数分别为
，①M、N之间的距离可用含x的式子表示为
__________；②若该两点之间的距离为2，那么x值为____________．
(2)
的最小值为_____________，此时x的取值范围是_________；(3)若
，则的最小值为_________．
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解题方法
【推荐3】先阅读下面的材料，再解答后面的各题：
现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中
这26个字母依次对应
这26个自然数（见下表）．
给出一个变换公式：
将明文转成密文，如
，即
变为
：
，即A变为S．将密文转成成明文，如
，即
变为
：
，即D变为F．
（1）按上述方法将明文
译为密文．
（2）若按上方法将明文译成的密文为
，请找出它的明文．
现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中
这26个字母依次对应这26个自然数（见下表）．| Q | W | E | R | T | Y | U | I | O | P | A | S | D |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| F | G | H | J | K | L | Z | X | C | V | B | N | M |
| 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
给出一个变换公式：
将明文转成密文，如
，即变为：，即A变为S．将密文转成成明文，如，即变为：，即D变为F．（1）按上述方法将明文
译为密文．（2）若按上方法将明文译成的密文为
，请找出它的明文．
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【推荐1】在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯（
）走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听．他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，这就是我们所熟知的黄金分割．由此，黄金矩形和黄金三角形等纷纷衍生而出．黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，同样，所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值黄金分割率和黄金矩形、黄金三角形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．
(1)尺规作图：请在答题卡的规定范围内作黄金矩形（不写作法，保留作图痕迹）
(2)著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设
，
，那么
的值为
(3)如图，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形
得折痕
，连接
，将
折叠到上，点A对应点
，得折痕
，试说明：
是
的黄金分割点．
）走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听．他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，这就是我们所熟知的黄金分割．由此，黄金矩形和黄金三角形等纷纷衍生而出．黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，同样，所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值黄金分割率和黄金矩形、黄金三角形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．(1)尺规作图：请在答题卡的规定范围内作黄金矩形（不写作法，保留作图痕迹）
(2)著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设
，，那么的值为(3)如图，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形
得折痕，连接，将折叠到上，点A对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点．
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【推荐2】找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
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;
;
;
；
________;
的值.
解答题-证明题
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【推荐1】阅读材料，完成下列问题：
材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为 0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如 5353、3535 都是“重叠数”．
材料二：将一位四位正整数 M 的百位和十位交换位置后得到四位数 N，
．
(1)
___________；
___________；
(2)试证明任意重叠数 M 的
一定为 10 的倍数；
(3)若一个“重叠数”
，当 t 能被 7 整除时，求出满足条件的所有 t 值中，
的最小值．
材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为 0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如 5353、3535 都是“重叠数”．
材料二：将一位四位正整数 M 的百位和十位交换位置后得到四位数 N，
．(1)
___________； ___________；(2)试证明任意重叠数 M 的
一定为 10 的倍数；(3)若一个“重叠数”
，当 t 能被 7 整除时，求出满足条件的所有 t 值中，的最小值．
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解答题-问答题
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【推荐2】材料阅读：
材料一：若m是正整数，m除以6的余数为1，则称m是“留一数”．
例如：43是正整数且43÷6＝7……1，则43是“留一数”．
材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，规定：F（p）＝
．
请根据以上材料，解决下列问题：
(1)判断：387，1645是不是“留一数”？并说明理由；
(2)若四位正整数n是“留一数”，n的千位数字与个位数字的和等于7，百位数字与十位数字的和等于6，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，
是有理数，求所有满足条件的n．
材料一：若m是正整数，m除以6的余数为1，则称m是“留一数”．
例如：43是正整数且43÷6＝7……1，则43是“留一数”．
材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，规定：F（p）＝
．请根据以上材料，解决下列问题：
(1)判断：387，1645是不是“留一数”？并说明理由；
(2)若四位正整数n是“留一数”，n的千位数字与个位数字的和等于7，百位数字与十位数字的和等于6，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，
是有理数，求所有满足条件的n．
您最近一年使用：0次
中，点E、F分别是
、
上的点，
，
，
，且
，连接
、
，
和
都是等腰直角三角形，求
的面积；
，连接
、
，求出
的面积；（结果都可用含a、b的代数式表示，并化简）
的中点，连接
、
得到
，求
