【推荐1】在中，，，将边绕点A逆时针旋转至，记旋转角为．分别过A，C作直线的垂线，垂足分别是E，F，连接交直线于点Q．

（1）如图1，当时，的形状为____________；
（2）当时，
①（1）中的结论是否成立？如果成立，请就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②在旋转过程中，当线段时，请直接写出的长．

【推荐2】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20，当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E． 在线段QC上取点F，使得QF＝2，连结PF，记AP＝（）．
（1）①CF＝             （用含的式子表示）
②若PF⊥BC，求BQ的长．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出的值．

【推荐3】等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 P 为平面内一点．
(1)如图 1，当点 P 在边 BC 上时，且满足∠APC＝120°，求的值；
(2)如图 2，当点 P 在△ABC 的外部，且满足∠APC+∠BPC＝90°，求证：BP＝AP；
(3)如图 3，点 P 满足∠APC＝60°，连接 BP，若 AP＝1，PC＝3，直接写出BP 的长度．

【推荐1】当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数”，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．
   
下面是小明的探究过程，请你将它补充完整：
(1)如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，设这两个函数图象的交点分别为，则点的坐标为，点的坐标为       ；
(2)点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合），设点的坐，其中且．
结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有．
证明：①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，
得，解得，
则直线的解析式为．令，可得，
则点的坐标为．
②同理可求，直线的解析式为，点的坐标为       ．
③请你继续完成证明的后续过程；
④拓展：若是等边三角形，求点的坐标；
⑤结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式．

【推荐3】如图，在等边中，边长为，于点D，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点Q由B点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点Q的直线，交于点E，连接，设运动时间为t（s），解答下列问题：

(1)当t为何值时，？
(2)当点P在线段上时，设四边形的面积为ycm²，求y与t的关系式；
(3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，已知抛物线经过、、三点，点为直线上方抛物线上一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点的坐标为时，求的面积；
(3)当时，求点的坐标；
(4)若点的坐标为，连接，交直线于点，交轴于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．点是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．

【推荐2】定义：如果一个圆满足：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点），那么这个圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．

(1)如图①，在中，，则边上经过点B的伴随圆的半径为         ；
(2)如图②，在中，，直接写出它的所有伴随圆的半径 ；
(3)如图③，在中，点E在边上，，D为的中点，且．
①求证：的外接圆是的边上的伴随圆；
②求的值．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系xOy中，把抛物线C₁：y=﹣x²沿x轴翻折，再平移得到抛物线C₂，恰好经过点A（﹣3，0）、B（1，0），抛物线C₂与y轴交于点C，抛物线C₁：y=﹣x²与抛物线C₂的对称轴交于D点．
（1）求抛物线C₂的表达式．
（2）在抛物线C₂的对称轴上是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由．

【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线）交x轴于点，，交y轴于点C，连接，，抛物线的顶点为P．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是位于第一象限内的抛物线上一点，连接，交y轴于点E，交于点F，连接，如图1所示，若的面积记为，的面积记为，试问：是否存在这样的点D，使得，若存在求出点D坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，连接，点M为抛物线的对称轴上一点，连接，，若，请直接写出点M的坐标．