【推荐1】如图，抛物线C₁：y＝ax²＋2x＋c与x轴交于点A、B两点，且经过直线y=－x－3与两轴的交点A、C，其顶点为D．

(1)求抛物线C₁的表达式及D点坐标；
(2)将抛物线C₁向右平移，使得平移后的抛物线C₂与抛物线C₁交于点P，且∠PAB＝∠DAC，求平移后的抛物线C₂的表达式．

【推荐2】已知拋物线经过点和，对称轴为直线．
   
(1)求该拋物线的解析式；
(2)点在线段上，且，若动点从A点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点以某一速度从点出发沿线段匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段被直线垂直平分？若存在，请求出此时的时间（秒）和点的运动速度，若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线y＝﹣x²＋bx＋c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，点是正方形内一点，点到点和的距离分别为，，，沿点旋转至连接，并延长与相交于点．
（1）求证： 是等腰直角三角形，
（2）求的大小．

【推荐2】请阅读下列材料，并完成相应的任务．
三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点，交DA的延长线于点F．若，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴，ADBC．在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴……

(1)任务一：上面证明过程中得出“”的依据是___；
(2)任务二：完成材料证明中的剩余部分；
(3)任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若，，请直接写出BF的长．

【推荐3】如图，已知中，，，分别过点、向过点的直线作垂线，垂足分别为、，

(1)如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系             
(2)如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明；
(3)在（2）的条件下，如图，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，四边形的面积是，求的面积．

【推荐2】如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．

(1)求出拋物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围．

【推荐3】将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．

(1)如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．
①求证：BE平分∠AEC．
②取BC的中点P，连接PH，求证：PHCG．
③若BC＝2AB＝2，求BG的长．
(2)若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．

【推荐1】如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q．
①当△APQ为等腰直角三角形时，求m的值；
②当PQ+BQ取得最大值时，求的值；
③当﹣3＜m＜0时，若∠PCA＝3∠ACO，求m的值．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C，连接．
   
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，在x轴上有一动点D，平面内是否存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点M为抛物线上的一动点：
①若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值；
②若点M为抛物线上的任意一动点，且，请直接写出满足条件的点M的坐标．

【推荐3】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点 A、点B，交 y 轴于点 C．
（1）求直线 BC的函数表达式；
（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点M使△CPM的周长最小，若存直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由.