【推荐1】如图，是等边三角形，D是上一点，延长到E，使，连接，．

（1）如图，若D是的中点，直接写出与的数量关系是______．
（2）若D是AC上任意一点，判断与的数量关系，并画图证明．

【推荐2】如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝2，CE＝，求等边△ABC的边长．

【推荐3】如图所示，点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．求证：．
   

【推荐1】如图，是的切线，是切点，是直径，是弦，连接，与相交于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．

【推荐2】如图，四边形是矩形．

(1)在图1中作对角线的垂直平分线，分别交于点M、N，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）中，连接和，求证：四边形是菱形；
(3)如图2，点E在矩形的边上，且，延长到点F，使，连接．若，，则四边形的面积为多少？

【推荐3】如图1，中，，是的高．

(1)与相似吗？为什么？
(2)如图2，若，，的中点为F，的中点为M，连接，求的长．

【推荐1】如图，在中，，过点C作的垂线交的延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求点D到的距离

【推荐2】如图，△ABC中，交AC于P，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于E、F．

(1)求证：；
(2)当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）

【推荐3】如图：在菱形中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
   
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．

【推荐1】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．

【推荐2】学校花园边墙上有一宽（BC）为2m的矩形门ABCD，量的门框对角线AC长为4cm，为美化校园，现准备打掉地面BC上方的部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体（阴影部分）的面积是多少？（结果中保留π，）

【推荐3】实践与探究
宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、均匀的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．
下面我们通过折纸得到黄金矩形．
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕是．
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，折痕为．
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使；过点折出折痕，使．

（1）上述第三步将折到处后，得到一个四边形，请判断四边形的形状，并说明理由．
（2）上述第四步折出折痕后得到一个四边形，这个四边形是黄金矩形，请你说明理由．（提示：设的长度为2）
（3）在图4中，再找出一个黄金矩形_______________________________（黄金矩形除外，直接写出答案，不需证明，可能参考数值：）
（4）请你举一个采用了黄金矩形设计的世界名建筑_________________________.