【推荐1】如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），过点E作MNBC分别交CD、AB于点M、N，点F在射线NA上，且DE=EF．

(1)求证：FN＝BN；
(2)当射线DF交射线CA于点G，当AF＝4时，求GE的长．

【推荐2】（1）如图①，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，且∠APB＝150°，猜想PA，PB，PC三条线段之间有何数量关系，并说明理由．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…
请参考小明同学的想法，补充图形，并完成该问题的解答过程．（一种方法即可）
（2）如图②，点P是正方形ABCD内一点，若∠APB＝135°，PA，PB，PC三条线段之间又有何数量关系？请说明理由．
（3）如图③，点P是正方形ABCD外一点，若PA，PB，PC三条线段满足“类比探究”中的数量关系，请直接写出∠APB的度数．

【推荐3】如图1所示，正方形的边长为2，点E、F分别为边、的中点，如图2所示，将绕点A逆时针旋转，射线、交于点P．

(1)求证；
(2)当为等腰三角形时，求旋转角度．
(3)当射线恰好通过的中点H，求的长．

【推荐2】图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的侧面简化示意图，夹子两边为AC，BD （闭合时点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，求∠EOF增加了多少度（结果精确到1°，参考数据：
tan67.4°≈2.40，tan15.5°＝0.278，tan74.5°≈3.60）：
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，求A，B两点间的距离．

【推荐3】如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）当时，求的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值，若不能，说明理由.