【推荐1】如图，在四边形中，， E，F分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点M，N．
(1)求证：；（提示：取的中点H，连接作辅助线）
(2)如图2，在中，F是边的中点，D是边上一点，E是的中点，直线交的延长线于点G，若，求的长度．

   

【推荐2】如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．

   

(1)求证：四边形为平行四边形
(2)，求线段的长度．

【推荐3】已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是，，，的中点．
   
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，四边形是怎样的四边形？证明你的结论．

【推荐1】如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，EF⊥AC于点F，点P是AE的中点．

（1）求证：BP⊥FP；
（2）连接DF，求证：AE＝DF．

【推荐2】如图，在中，，垂足分别为，．

(1)求证：；
(2)若点是的中点，连接，，并延长交于点，如果，求的度数（用含的式子表示）；
(3)在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比．

【推荐3】如图，在四边形中，两条对角线相交于点O，，垂足为点B，，垂足为点D，，点E，F分别是，的中点，连接，，，．

(1)求证：；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
①，②．
选择的条件：______（填写序号）．
（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）

【推荐1】如图1，直线x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，将△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．

（1）求OB的长；
（2）如图2，F，G是直线AB上的两点，若△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P，Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．

【推荐2】如图，菱形的边在轴上，点，反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点．

   

(1)求反比例函数的表达式；
(2)将菱形向左平移，当点B落在反比例函数的图象上时，求平移的距离．

【推荐3】在菱形中，，，连接交于点O，点E，F分别是的中点，连接．

(1)求线段的长；
(2)求证：四边形是平行四边形，并求四边形的面积．

【推荐1】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、、于点E、O、F，连接和．
   
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求菱形的周长．

【推荐2】如图，在四边形中，，．

(1)利用尺规作的平分线，交边于点E，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形．

【推荐3】如图，在中，是对角线．

(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接和（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求证四边形是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．
证明：∵垂直平分，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴①________
∴．
在和中，

②________
∴，
∴③________
∵垂直平分，
∴，④________
∴，
∴四边形是菱形．