欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点
是已知点，圆
是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接
，作线段的中点
；
②以为圆心，以
为半径作圆，与圆交于两点
和
；
③连接
、
，则、是圆的切线．
(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；
(3)如图2，连接
并延长交圆于点
，连接
，已知
，
，求圆的半径．
如图1，设点
是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接
，作线段的中点；②以
为圆心，以为半径作圆，与圆交于两点和；③连接
、，则、是圆的切线．(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“
、是圆的切线”的过程；(3)如图2，连接
并延长交圆于点，连接，已知，，求圆的半径．
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更新时间：2023-04-30 16:00:32
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【推荐1】四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（C、E、F、G按顺时针排列），连接BF，
（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE=1，求BF的长；
（3）若BF3
,请求出此时AE的长.
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,请求出此时AE的长.
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【推荐2】图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），
和
均为等腰直角三角形，点
，
分别在线段
，
上，且
绕点逆时针旋转，连接
，
，如图（2），当的延长线恰好经过点时，其：
①
的值；
②与的夹角为多少度；
(2)类比探究：如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，设的延长线交于点
，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)拓展延伸：若
，
，当所在的直线垂直于
时，请你直接写出的长．
和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且
绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时，其：①
的值；②
与的夹角为多少度；(2)类比探究：如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转
，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．(3)拓展延伸：若
，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．
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上，经过点D的直线l与边
关于直线
直线
与
的数量关系，并说明理由；
与
关于某直线对称，
，求点P到边
，求此时线段
的长度．
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【推荐1】已知，如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于A、C两点（A在C的左侧），交y轴于B、D两点（B在D的上方），且∠BAC＝30°，
（1）如图①求⊙P的半径及点B的坐标；
（2）点Q是⊙P上任意一点，求△ABQ面积S的取值范围；
（3）如图②，已知点M（－5，0），过M作直线y=kx+b交y轴于点N，
①若MN//AB，试判断MN与⊙P的位置关系，并说明理由；
②在该直线上存在一点G，使以G、A、C为顶点的三角形是直角三角形，且满足条件的点G有且只有三个不同位置，求直线MN的函数关系式．
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【推荐2】如图，⊙半径为
，是⊙的直径，
是⊙上一点，连接，⊙外的一点 在直线上．
（）若
，
．
①求证：
是⊙的切线．
②阴影部分的面积是 ．（结果保留
）
（
）当点在⊙上运动时，若是⊙的切线，探究
与
的数量关系．
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(1)求证：△AEF∽△BAF；
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(3)如图3，若AB＝AC，AD＝2BD，AF＝1，求CF的长．
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【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过
上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =
，AH=3
，求EM的值．
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与直径为
，
，
，半圆O交
始终等于
，旋转角记为
时，连接
，则
____________°，
_____；
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，
，当半圆O旋转至与
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（1）请说明△AOP≌△COQ的理由．
（2）若AP＝5，
①请用x的代数式表示DE的长．
②当△DQM为直角三角形时，请求出所有满足条件的BC的值．
（3）若存在⊙Q′同时与直线AC和直线AD相切，请直接写出⊙Q′的半径．
（1）请说明△AOP≌△COQ的理由．
（2）若AP＝5，
①请用x的代数式表示DE的长．
②当△DQM为直角三角形时，请求出所有满足条件的BC的值．
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【推荐2】如图，等腰直角与
交于点B，C，
，延长
与分别交于点D，E，连接
，并延长
至点F，使得
．
(1)求
的度数；
(2)求证：
与相切；
(3)若的半径为2，求的长．
与交于点B，C，，延长与分别交于点D，E，连接，并延长至点F，使得． (1)求
的度数；(2)求证：
与相切；(3)若
的半径为2，求的长．
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，BC=
．
