【推荐1】已知ABCD中，，．


(1)如图1，对角线AC、BD交于点O，若，求BD的长；
(2)点E是直线CD上的一个动点，直线BE交直线AC于点H，过点A作交直线CD于点F，垂足为点M，连接FH．
①如图2，当点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）时，判断线段BH、AF、FH的数量关系，并证明．
② 当点E在边DC的延长线上时，若，判断线段BH、AF、FH之间的数量关系，在图3中画出图形并直接写出结论，不需证明．

【推荐2】【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．

【推荐1】已知正方形与正方形，正方形绕点A旋转一周．

(1)在旋转过程中，
①连接与，结合图1，探究线段与的数量关系______，线段BE与DG的位置关系______；
②连接与，结合图2，试探究线段与的数量关系，并说明理由．
(2)在旋转过程中，连接，取中点M，
①连接，结合图3，试探究与的关系，并说明理由；
②将正方形绕点A旋转一周，若，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长______．

【推荐2】阅读与思考
阅读下面材料，并按要求完成相应的任务

正方形的折叠 正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决．

下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题：
如图，正方形边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值．
【特例探究】
任务一：
（1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则______．
任务二：
（2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值．
下面是该结论的部分解答过程：
在图2中，过点F作于M，延长交于N．
易证四边形为矩形，______，

∴设，则，，，
在中，根据勾股定理得

解得：（舍去），
即

∴在中，______
仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整．

图1图2图3

【方法应用】
任务三：
（3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值．

【推荐3】如图1，在中，，点P为上一点，于点D，连接，以为直径的圆交于点E，交于点F，连接．

(1)求证：．
(2)当为等腰三角形时，求所有满足条件的的长．
(3)如图2，过D作交于点M，若点M为的中点，则       ．（直接写出答案）