【问题背景】如图，正方形
的对角线相交于点O，点O又是正方形
的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的
，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段
上，
（k为常数）．
（1）如图1，将
的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边
，
相交于点M，N．
①填空：
______；
②求证：
．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的
沿方向平移，判断
与
的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边上，
，延长
交边
于点E，若
，求k的值．
的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．
（1）如图1，将
的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．①填空：
______；②求证：
．【类比探究】
（2）如图2，将图1中的
沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】
（3）如图3，点N在边
上，，延长交边于点E，若，求k的值．
更新时间：2024-06-09 17:02:09
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】探究与证明
（1）如图1，点B是线段上的一点，
，
，
，垂足分别为C，B，D，
．求证：
；
类比迁移
（2）如图2，矩形中，点E、F分别在边、
上，且
，
，连接
，把三角形
沿翻叠，若点A的对应点G恰好落在边上，则
的长为______；
拓展应用
（3）如图3，有一个矩形广场，
，
，广场上要修两条小路、
，要求点E、F、G分别在边、、上，且
，
，
，广场上五边形
内部将进行绿化，请求出绿化面积．
（1）如图1，点B是线段
上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；类比迁移
（2）如图2，矩形
中，点E、F分别在边、上，且，，连接，把三角形沿翻叠，若点A的对应点G恰好落在边上，则的长为______；拓展应用
（3）如图3，有一个矩形广场
，，，广场上要修两条小路、，要求点E、F、G分别在边、、上，且，，，广场上五边形内部将进行绿化，请求出绿化面积．
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(0.4)
【推荐2】已知：如图，正方形中，点
是边上一点，作射线，过点
作
于点
，交的延长线于点
，连接
，求证：
．
(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和
相等的角，即________；
(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“
”的启发，可在线段
上截取
，再证
…．
小明：我受结论中“
”的启发，可构造一个以
为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颗的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展：如图2，点
，
分别是线段，
的中点，若
，
，则
的长度为________．
中，点是边上一点，作射线，过点作于点，交的延长线于点，连接，求证：． (1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和
相等的角，即________；(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“
”的启发，可在线段上截取，再证…．小明：我受结论中“
”的启发，可构造一个以为直角边的等腰直角三角形…请从小明和小颗的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展：如图2，点
，分别是线段，的中点，若，，则的长度为________．
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，求点P的坐标．
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名校
【推荐1】在正方形ABCD中，连接BD，P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接AP， AP的垂直平分线交线段BD于点E，连接AE，PE．
提出问题：当点
运动时、探究∠APE的度数，以及
与
的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点的两个特殊位置；
①当点与点
重合时，如图1-1所示，∠APE=______°，用等式表示线段与之间的数量关系：______．
②当
时，如图1-2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：______（填“变化”或“不变化”）
（2）然后考察点的一般位置：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图2-1和图2-2中任选一个，补全图形并进行证明；若不成立，请说明理由．
提出问题：当点
运动时、探究∠APE的度数，以及与的数量关系是否发生改变？探究问题：
（1）首先考察点
的两个特殊位置；①当点
与点重合时，如图1-1所示，∠APE=______°，用等式表示线段与之间的数量关系：______．②当
时，如图1-2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：______（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点
的一般位置：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图2-1和图2-2中任选一个，补全图形并进行证明；若不成立，请说明理由．
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(0.4)
【推荐2】如图1，已知四边形是正方形，将线段绕点
逆时针旋转得到线段，旋转角为
，连接
．
(1)
______（用含
的式子表示）；
(2)过点B作
，交DF的延长线于点，连接AG．
①如图2，若
，
，求
的长；
②求
的值．
是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接．(1)
______（用含的式子表示）；(2)过点B作
，交DF的延长线于点，连接AG．①如图2，若
，，求的长；②求
的值．
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，
，
上一点，连接
，
，
，且
，若延长
到
，连接
．
，
之间的数量关系是_______．
，点
，以
，
交射线
，连接
．
，求
的值；
是等腰三角形，求此时
的长．
，则线段
的长为_______．
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(0.4)
名校
【推荐1】（1）问题提出：如图1，折叠矩形，使点D落在边上的点F处，折痕为
．若
，
，求
的面积．
（2）问题解决：某市进行河滩治理，优化、美化人居生态环境．如图2，在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园
．按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个三角形人工湖
，使点M，N分别在边
上，
的面积为
平方米，且满足
，
．已知五边形中，
，
米．请问是否存在符合设计要求面积的？若存在，求此时
的长；若不存在，请说明理由．
，使点D落在边上的点F处，折痕为．若，，求的面积．（2）问题解决：某市进行河滩治理，优化、美化人居生态环境．如图2，在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园
．按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个三角形人工湖，使点M，N分别在边上，的面积为平方米，且满足，．已知五边形中，，米．请问是否存在符合设计要求面积的？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，
是
的外接圆，是的直径，切线交的延长线于点D，
，垂足为点E，延长
交于点F，连接
．平分
；
(2)若的半径为4，
，求
的值．
是的外接圆，是的直径，切线交的延长线于点D，，垂足为点E，延长交于点F，连接．
平分；(2)若
的半径为4，，求的值．
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与
轴交于点
，
，与
轴交于点
的值：
为等腰三角形时，求点
与二次函数图象相交于
两点，求证：无论
为何值，
恒为直角三角形．
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在中，
，
，
，为上一动点，以
为边作等边
．
(1)如图
，若
，求的面积；
(2)如图
，在
上取一点，使
，连接
将绕着点逆时针旋转，使落在
上，连接
，取的中点，连接
，
请你猜想与
的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在（2）的条件下，若在直线上运动，连接
，当取最小值时，直接写出
的值．
中，，，，为上一动点，以为边作等边．(1)如图
，若，求的面积；(2)如图
，在上取一点，使，连接将绕着点逆时针旋转，使落在上，连接，取的中点，连接，请你猜想与的数量关系，并证明你的猜想；(3)在（2）的条件下，若
在直线上运动，连接，当取最小值时，直接写出的值．
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解答题-问答题
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(0.4)
解题方法
【推荐2】如图，在
中，
，
，
，D是边的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点B运动，过点P作
于点Q，当点P不与点A、D、B重合时，以
、
为邻边作
，设与重叠部分的面积为s（平方单位），点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)当点E到点A、D的距离相等时，求的长；
(3)求s和t之间的函数关系式；
(4)当的某条对角线与边垂直时，直接写出t的值．
中，，，，D是边的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点B运动，过点P作于点Q，当点P不与点A、D、B重合时，以、为邻边作，设与重叠部分的面积为s（平方单位），点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段
的长；(2)当点E到点A、D的距离相等时，求
的长；(3)求s和t之间的函数关系式；
(4)当
的某条对角线与边垂直时，直接写出t的值．
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，
，点E是
、
，则
的值为_________.
，点E为
的延长线于点G，交
.
中，
，
，
，将
，点E、F分别在边
.连接
，直接写出
