综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
(1)如图，矩形纸片中，，，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕，连接，折叠，点D的对应点为点，过作于点G，则的长度为______．

迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
操作一：如图①，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕；
操作二：如图②，将正方形纸片的右上角沿折叠，得到点D的对应点；
操作三：如图③，将正方形纸片的左上角沿折叠再展开，折痕与边交于点P．
问题解决：请在图③中解决下列问题：
(2)求证：
(3)求证：．
拓展探究：
(4)在图③的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿折叠再展开，折痕与边交于点Q，如图④．试探究：______（直接写出结果，不需证明）．