【推荐1】如图1，在矩形中，P为边上一点．M在上，且，过点B作交于点N．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)求证：；
(3)如图2，连接，分别交，于点E，F，若，，求的值．

【推荐2】在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF＝DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上，且BN＝NE．
（1）如图1，若AB＝BC＝6，BM＝AB，E为线段FC上的点，试求NE的长；
（2）如图2，若AB＜BC，E为线段FC延长线上的点，连结BE，求证：BE＝NE．
   

【推荐3】实践与探究
在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D,E，F.
(1)如图(1)，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
(2)如图(2)，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.
①求证：ΔADB≌ΔAOB；
②求点H的坐标.

【推荐1】如图，中，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，与垂直的动直线从开始．以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交，于，两点．当点运动到点时，直线也停止运动，设点的运动时间为秒．

(1)当点在上运动时，过点作于，
①当时，求证：；
②设的面积为，用含的代数式表示，并求当为何值时，有最大值；
(2)当直线等分的面积时求的值，并判断此时点落在的哪条边上；
(3)直接写出时的值．

【推荐2】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD² = OB·OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．

【推荐1】已知，，，D为边上一点（不与A、B重合），以为底作等腰，使A、E位于两侧，且．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若，交于F点，求的值；
(3)如图1，连接，求证：．

【推荐2】定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连接EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．

(1)如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE =2，求逆等线EF的长；
(2)如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；
(3)如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长．

【推荐1】如图1，直线y=x+n交轴于点A，交轴于点C（0,4）.抛物线y= +bx+c经过点A，交轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，经过点P作轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.

【推荐2】已知：在中，，点D是边上一点，连接，点E是线段延长线上一点，连接，使，过点C作，交于点F．

(1)①如图1，当时，线段与之间的数量关系是             ．
②如图2，当时，线段与之间的数量关系是         ．
(2)如图3，当时，线段与之间具有怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图4，当时，直接写出线段与之间的数量关系．（用含α的式子表示）

【推荐3】如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC边上的中点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MN∥AO，延长CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BG=AN，连接MG，设AN=x，BM=y．
（1）求y关于x的函数关系式及其定义域；
（2）连接CN，当以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切时，求∠ACN的正切值；
（3）当△ADN与△MBG相似时，求AN的长．