【推荐2】若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形中，若，则称四边形为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：

（1）菱形_____“奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）已知的半径为6，四边形是的内接“奇妙四边形”，对角线，相交于点E．
①如图2，若，求“奇妙四边形”的面积；
②连接，若，求的长．

【推荐3】综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形的对角线和相交于点，点是正方形内的一点，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，直线经过点．
特例探究：
（1）如图2，当点与点重合时，判断和的数量关系并证明；
操作探究：
（2）如图1，当点与点不重合时，判断，和之间的数量关系，并说明理由；
类比探究：
（3）如图3，将“正方形”改为“菱形”，将“绕点逆时针旋转得到”改为“绕点逆时针旋转得到”，其余条件不变，请直接写出，和之间的数量关系．
   

【推荐1】数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．

(1)如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O；
第二步：连接、；
第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和．
则图中、即为所求的点．
请在图②中，连接、、、，
说明．

(2)【方法迁移】
如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹）

(3)【深入探究】
①已知矩形，，，P为边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围为       ．
②已知矩形，， ，P为矩形内一点，且，则的最小值为       ．

【推荐3】如图，直线交轴于A点，交x轴于C点，以A，O，C为顶点作矩形AOCB，将矩形AOCB绕O点逆时针旋转，得到矩形DOFE，直线AC交直线DF于G点．

(1)求直线DF的解析式；
(2)求证：OG平分；
(3)在第一象限内，是否存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在请求出点H的坐标；若不存在，请什么理由．

【推荐2】如图，已知四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为（，4），将△OCB绕点O顺时针旋转90°后得到△ODE，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．

（1）求点D的坐标为_______，点E的坐标为______；
（2）求S_△BOH：S_△BOD的值；
（3）若点M在坐标轴上，试探究在坐标平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，点E在弦AB所对的优弧上，且弧BE为半圆，C是弧BE上的动点，连接CA，CB．已知AB＝4cm，设B，C两点间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y₁cm，A，C两点间的距离为y₂cm．

小明根据学习函数的经验，分别对函数y₁，y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y₁，y₂与x的几组对应值；

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	0	0.78	1.76	2.85	3.98	4.95	4.47
y2/cm	4	4.69	5.26	a	5.96	5.94	4.47

上表中a的值为　 　．
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y₁），（x．y₂），并画出函数y₁的图象如图所示．请在同一坐标系中画出函数y₂的图象；
(3)结合函数图象，解决问题：
①连接BE，则BE的长约为　 　cm；
②当以A，B，C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为　 　cm．

【推荐1】在中，，点在边上．以为斜边作，使得B、D两点在直线的异侧，且，与交于点．

(1)求证：；
(2)连接，若，判断与的数量关系；
(3)若，过点作，垂足为．求证：．

【推荐2】综合与实践
问题情境：
如图1，是线段上任意一点（不与点重合），分别以和为斜边在同侧构造等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．取中点中点，连接．
猜想验证：
（1）如图2，当点与点重合时，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
延伸探究：
（2）如图3，当点与点不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若，线段是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知正方形，点在对角线上，交于，交于，，垂足为点，求证：

(1)；
(2)；
(3)．