【探究发现】在探究矩形的性质时，小明发现了一个新结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形
中，由勾股定理，得
，
，又由矩形的性质，得
，
，所以
．
【类比证明】通过对菱形的探究，小明也得到了同样的结论．请用所学的知识进行证明：
（1）如图2，已知：四边形是菱形，对角线
、
交于点O，求证：；
【归纳猜想】矩形、菱形都是特殊平行四边形，于是小明猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
（2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；
【拓展应用】（3）如图4，在
中，
、
、
的长分别为6、4、5，
是边上的中线．则的长是_________．
中，由勾股定理，得，，又由矩形的性质，得，，所以．【类比证明】通过对菱形的探究，小明也得到了同样的结论．请用所学的知识进行证明：
（1）如图2，已知：四边形
是菱形，对角线、交于点O，求证：；【归纳猜想】矩形、菱形都是特殊平行四边形，于是小明猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
（2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；
【拓展应用】（3）如图4，在
中，、、的长分别为6、4、5，是边上的中线．则的长是_________．
更新时间：2023/07/10 20:33:52
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图1：在
中，
，
，
为边上一点（不与点
，
重合），试探索，，
之间满足的等量关系，并证明你的结论．
小明同学的思路是这样的：将线段绕点
逆时针旋转
，得到线段
，连接
，
．继续推理就可以使问题得到解决．
(1)请根据小明的思路，探索线段，，满足的等量关系，并证明结论；
(2)如图2，在中，，，为外的一点，且
，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
(3)如图3，已知是
的直径，点，是上的点，且，连接，，
①若
，
，求弦的长为 ；
②若
，求
的最大值．
中，，，为边上一点（不与点，重合），试探索，，之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段
绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．继续推理就可以使问题得到解决．(1)请根据小明的思路，探索线段
，，满足的等量关系，并证明结论；(2)如图2，在
中，，，为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；(3)如图3，已知
是的直径，点，是上的点，且，连接，，①若
，，求弦的长为 ；②若
，求的最大值．
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(0.4)
【推荐2】在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，
．
(1)如图（1），若
，则AE与CF相等吗？请说明理由；
(2)如图（2），若
，
，求EF的长；
(3)如图（3），若点E，F是AC的三等分点，点P在正方形ABCD的边上从点A开始按逆时针方向运动一周，直至返回点A，试求此过程中满足
为整数的点P个数．
．(1)如图（1），若
，则AE与CF相等吗？请说明理由；(2)如图（2），若
，，求EF的长；(3)如图（3），若点E，F是AC的三等分点，点P在正方形ABCD的边上从点A开始按逆时针方向运动一周，直至返回点A，试求此过程中满足
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【推荐1】阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图（1）,在□ABCD中,点E是边BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.如果
,求
的值.
他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H,则可以得到△BAF∽△HEF.
请你回答：（1）AB和EH的数量关系为 ,CG和EH的数量关系为 ,的值为 .
（2）如图（2）,在原题的其他条件不变的情况下,如果
,那么的值为 （用含a的代数式表示）.
（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3）,在四边形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上一点,AE和BD相交于点F. 如果
,那么
的值为 （用含m,n的代数式表示）.
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请你回答：（1）AB和EH的数量关系为 ,CG和EH的数量关系为 ,
的值为 .（2）如图（2）,在原题的其他条件不变的情况下,如果
,那么的值为 （用含a的代数式表示）.（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3）,在四边形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上一点,AE和BD相交于点F. 如果
,那么的值为 （用含m,n的代数式表示）.
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(0.4)
【推荐2】如图1，在中，，，过点作
于点，点
为线段上一点（不与，重合），在线段上取点
，使
，连接
，
．
(1)观察猜想：线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究：将
绕点旋转到如图2所示的位置，请写出与的数量关系及位置关系，并就图2的情形说明理由；
(3)问题解决：已知
，
，将绕点旋转，当以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出
的长．
中，，，过点作于点，点为线段上一点（不与，重合），在线段上取点，使，连接，．(1)观察猜想：线段
与的数量关系是______，与的位置关系是______；(2)类比探究：将
绕点旋转到如图2所示的位置，请写出与的数量关系及位置关系，并就图2的情形说明理由；(3)问题解决：已知
，，将绕点旋转，当以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的长．
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【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B，
(1)求抛物线的解析式
(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=
BF时，求sin∠EBA的值．
(3)点N是直线AC上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)求抛物线的解析式
(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=
BF时，求sin∠EBA的值．(3)点N是直线AC上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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名校
【推荐1】如图，已知
OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，求对角线OB长的最小值．
OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，求对角线OB长的最小值．
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(0.4)
【推荐2】如图，平面直角坐标系中，直线AC、BC交x轴于A、B两点，交y轴于同一点C，点C的坐标为（0，3），BC=AC＝5.
（1）求直线BC的解析式；
（2）点D在直线BC上，且点D的横坐标为－
，直线PQ∥y轴且PQ经过线段BC的中点E，交直线AC于点P，交x轴于点Q，在直线PQ上找点M，y轴上找点N，连接MN，MN⊥PQ，连接DM、NA，当DM+MN+NA最短时，求DM+MN+NA的最小值.
（1）求直线BC的解析式；
（2）点D在直线BC上，且点D的横坐标为－
，直线PQ∥y轴且PQ经过线段BC的中点E，交直线AC于点P，交x轴于点Q，在直线PQ上找点M，y轴上找点N，连接MN，MN⊥PQ，连接DM、NA，当DM+MN+NA最短时，求DM+MN+NA的最小值.
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(0.4)
解题方法
【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A的坐标是
、顶点C的坐标是
，且
轴，
轴，交x轴于点E．取线段的中点F，点M从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴的正方向运动，点N从点E出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴负方向运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接
．
（1）填空：点B的坐标为______，点F的坐标为_________．
（2）请探索
之间的数量关系，并说明理由：
（3）试判断以点F、M、O、N为顶点的四边形的面积是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．
的顶点A的坐标是、顶点C的坐标是，且轴，轴，交x轴于点E．取线段的中点F，点M从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴的正方向运动，点N从点E出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴负方向运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接．（1）填空：点B的坐标为______，点F的坐标为_________．
（2）请探索
之间的数量关系，并说明理由：（3）试判断以点F、M、O、N为顶点的四边形的面积是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在菱形中，
，点
在射线上，连接
绕点顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点
，旋转角
．射线与射线交于点
．
(1)如图1，当点在线段上时，求证：
．
(2)如图2，点在线段的延长线上，当
时，求线段
的长．
(3)如图3，连接
，当
时，求线段的长．
中，，点在射线上，连接绕点顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点，旋转角．射线与射线交于点．(1)如图1，当点
在线段上时，求证：．(2)如图2，点
在线段的延长线上，当时，求线段的长．(3)如图3，连接
，当时，求线段的长．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线交
轴于点，交
轴于点；直线：
交轴于点，与直线交于点，且
．
(1)求直线：
的解析式；
(2)求
的面积，当
时，直接写出自变量的取值范围；
(3)若点在此平面直角坐标系中，点在轴上，以为边，点
为顶点作四边形，请直接写出此四边形为菱形时点的坐标．
交轴于点，交轴于点；直线：交轴于点，与直线交于点，且． (1)求直线
：的解析式；(2)求
的面积，当时，直接写出自变量的取值范围；(3)若点
在此平面直角坐标系中，点在轴上，以为边，点为顶点作四边形，请直接写出此四边形为菱形时点的坐标．
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，
平分
交
，
，试判断线段
和
