【推荐1】解答

（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则．
（2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为         ．
（3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使．
i．如图②，连结，当时，求的面积．
ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离．

【推荐2】如图1，四边形为菱形，．，，．

(1)点A坐标为       ，四边形的面积为        ；
(2)如图2，点E在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．

【推荐3】同学们，折纸中也有很大的学问呢．张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．

(1)如图1，折痕为，点A的对应点F在上，则折痕的长为          cm；
(2)如图2，H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，折痕为，则          °．重叠部分的面积为          ；
(3)如图3，在图2中，把长方形沿着对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个          形，证明你的结论；
(4)在（3）的条件下，这个重叠部分的周长最短是          cm，重叠部分的周长最大周长是          cm．

【推荐1】如图①为放置在水平桌面上的台灯，当人在此台灯下看书时，将其侧面抽象成如图②的几何图形，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角为.由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平桌面所形成的夹角、分别为和.

（1）若书EF与光线OB平行放置且书底端点F离光线OB端点B的距离为63cm，求书EF的长度（结果精确到0.1cm）；
（2）若该书与水平桌面的夹角为，当眼睛所在位置点P在EF的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm时，称点P为“最佳视点”.请通过计算说明最佳视点P是否在灯光照射范围内？（参考数据：，，.）

【推荐2】已知矩形中，，，点O是上一动点，的半径为r（r为定值），当经过点C时，此时恰与对角线相切于点P，如图1所示．

(1)求的半径r；
(2)若从点B出发（圆心O与点B重合），沿方向向点C平移，速度为每秒1个单位长度，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如图2所示．当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，与相切？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，点D在长方形AEFG的边AG上，且四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，延长BC交GF于点M，设AD＝a，DG＝b（a＜b），△BEF的面积记为S₁，四边形ABFG的面积记为S₂，长方形DCMG的面积记为S₃．

(1)用a、b的代数式表示S₁和S₂；
(2)若2a＝b，求的值；
(3)若S₂＝32，S₃＝12，求CH的长．

【推荐1】在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=120°，∠ADE=90°，∠DAE=60°，F为BC中点，连接BE、DF，G、H分别为BE，DF的中点，连接GH．

（1）如图1，若D在△ABC的边AB上时，请直接写出线段GH与HF的位置关系　 　，=　 　．
（2）如图2，将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转至图2所示位置，其它条件不变，（1）中结论是否改变？请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转至图3所示位置，若C、D、E三点共线，且AE=2，AC=，请直接写出线段BE的长　 　．

【推荐2】问题探究：如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D为线段AB上一动点，连接BE．

（1）求证：△ADC∽△BEC．
（2）求证：∠DBE=90°．
拓展延伸：把问题探究中的“点D为线段AB上一动点”改为“点D为直线AB上一动点”，其他条件不变，若点M为DE的中点，连接BM，且有AD=1，AB=4，请直接写出BM的长度．

【推荐3】（1）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，请写出线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图，在中，，为的中点，连接，过点作于点，交于点，若，，求的长．

【推荐1】如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．

【推荐2】（1）如图1，等边的边长为2，点D为边上一点，连接，则长的最小值是______；
（2）如图2，已知菱形的周长为16，面积为，E为中点，若P为对角线上一动点，Q为边上一动点，计算的最小值：
（3）如图3，已知在四边形中，，，，E为边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取．试问在四边形内是否存在点P，使得的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位罝，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由．