【推荐1】已知四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，DE与CF交于点G．

(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；
(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
(3)如图③，若BA=BC=9，DA=DC=12，∠BAD=90°，DE⊥CF，则的值为_____________．

【推荐2】（1）如图1，分别以的边，为腰往外部作等腰三角形，使，，且，连接，，找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）如图2，中，，，，分别以的边，为腰往外部作等腰直角三角形，使，，且，连接，，直接写出的度数和的长；
（3）如图3，，是的垂直平分线上一点，，，，，直接写出的长．

【推荐1】如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，求证：

   

(1)．
(2)．

【推荐3】如图，已知中，，，，D是边上一点（点D与点A、B不重合），平分，交边于点E．

   

(1)如图1，若D是边的中点，求的长；
(2)如图2，过点E作，垂足为F．
①若与相似，求的值；
②若的面积是面积的2倍，直接写出此时的长．

【推荐1】如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

【推荐2】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．

   

(1)操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是__________；
②图2中与的数量关系是__________；四边形的形状是__________．
(2)迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板 边长为，过程如下：
将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
(3)拓展应用
在（2）的探究过程中；
当为等腰三角形时，请直接写出的长；

【推荐3】如图，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线，MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．

(1)探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；
(2)当点O运动到何处，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．

【推荐1】已知：在矩形中，，点是上一动点（不与端点，重合），连接，于点，交于点，连接．

(1)如图1，当点运动到的中点时．
①求证：；
②若，求的值；
(2)如图2，当时，点在运动的过程中，是否存在点和点重合的情况？若存在，试确定此时点的位置；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，当时，的延长线交正方形外角的平分线于点，连接交边于点，连接，当最小时，求的值．

【推荐2】已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．

（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，时，求tan∠BPC．