【推荐1】已知为等边三角形．

(1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：．
(3)如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值．

【推荐2】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．



(1)【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．
小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请你根据小明的思路完成证明过程．
(2)【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．
①请你判断线段EF和AE的数量关系是________，并说明理由；
②若菱形ABCD的边长为6，CF＝CE，请直接写出CF的长．

【推荐3】如图，四边形ABCD是矩形．

(1)如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．
①求证：．
②若G为CE的中点，∠DAG＝∠CBG，求证：sin∠AGB=；
(2)如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点，若AB＝2，BC＝3，求PS+PQ的最小值．

【推荐1】如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．
   
(1)若，以为边在上方作，且，，连接，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．

【推荐2】如图所示，抛物线y＝ax²+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B（﹣1，0），点A（3，0）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上位于直线AC下方的一点，且BE∥AC交抛物线于点E，连接PB交AC于点F，连接EF、PE，求△PEF面积的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移至经过点P，得到抛物线y'，若N为抛物线y'对称轴上的一点，且以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点N的坐标．

【推荐3】为了保护环境，新农村改造过程中需要修建污水处理厂，如图，、是位于直线小河同侧的两个村庄，村距离小河的距离，村距离小河的距离，经测量，现准备在小河边修建一个污水处理厂．(不考虑河宽)

（1）设，请用含的代数式表示的长（保留根号）；
（2）为了节省材料，使得两村的排污管道最短，求最短的排污管长；
（3）根据（1）（2）的结果，运用数形结合思想，求的最小值．

【推荐1】如图，在中，，点D为边的中点，分别交、边于点E、F，且．

(1)当时（如图1），求证：；
(2)当时（如图2）．求证：；
(3)在（2）问的条件下，作的角平分线，交于点P，交的延长线于点Q（如图3），若，，求线段的长．

【推荐2】如图，在正方形ABCD中，E是AD边上一点，连接BE．过A作于P,交CD于F．
（1）如图1，连接BF，当AE=1．AD=4时，求BF的长；
   
（2）如图2．对角线AC．BD交于点O 连接OP，若DE=2AE=4．求OP的长；
   
（3）如图3，对角线AC，BD交于点O．连接OP，DP．若，试探索DP与BP的数量关系，并说明理由．
       

【推荐2】中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交CB于点D，E在AB上，∠ADB＋∠AED＝180°
（1）如图，求∠ADE的度数；
（2）如图，当BE∶AB＝1:3时，求证AB＝2AC；
（3）如图，在（2）的条件下点M在AE上，N在AC上，截取AM＝AD，且三角形AMN的面积，连接DM，DN，AD与MN交于O点，当时，求OD的长．
   

【推荐3】如图1，、是的两条互相垂直的弦，垂足为，连接．

   

(1)求证：．
(2)如图2，过点作交CD于G，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件上，连接，若恰好经过圆心，若的半径为5，，求的长．