【推荐1】在等腰直角中，，P是线段上一点（与点B、C不重合），连接，延长至点Q，使得，过点Q作于点H，交于点M．

(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

【推荐2】在中，，，．是经过点的直线，于，于．

(1)求证：
(2)若将绕点旋转，使与相交于点（如图，其他条件不变，求证：．
(3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图，连接，求证：．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线A、B与x轴、y轴分别交于点B、A，作交AB于点E，且E坐标为．
   
(1)求A、B两点的坐标；
(2)在直线OE上存在一点P，使得，求P的坐标
(3)若点M是直线AB上的一个动点，在平面内是否存在另一个点N，使得以O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在正方形中，是边上一点（点不与点重合），，垂足为点，与正方形的外角的平分线交于点．
   
(1)如图1，若点是的中点，猜想与的数量关系是______．
证明此猜想时，可取的中点，连接．根据此图形易证．
则判断的依据是______．
(2)点在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接，，若正方形的边长为2，直接写出的周长的取值范围．

【推荐3】如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、．

(1)求证：；
(2)探究与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．

【推荐1】如图，抛物线与轴交于A，C两点（A点在C点左侧），直线与抛物线交于A，B两点，其中点的横坐标为2．

(1)求A，C两点的坐标及直线的函数表达式；
(2)若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
(3)若点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图所示，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，是的中点，以，为邻边作，设点的运动时间为秒．

   

(1)用含的代数式表示线段的长；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)当点在线段上运动时，连接，若为钝角三角形，求的取值范围．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点B、C在第二象限内．

(1)求点B的坐标；
(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP．
（1）求证：PQ⊥AB；
（2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长；
（3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围．