【推荐1】如图，有一块塑料矩形模板，长为，宽为，将你手中足够大的直角三角板的直角顶点落在边上（不与、重合），在上适当移动三角板顶点．
能否使你的三角板两直角边分别通过点与点？若能，请你求出这时的长；若不能，请说明理由；
再次移动三角板位置，使三角板顶点在上移动，直角边始终通过点，另一直
角边与延长线交于点，与交于点，能否使？若能，请你求出这时的长；若不能，请你说明理由．

【推荐2】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=14，AD= 4   ， CD=7．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB= ． 动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于AB，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）求腰BC的长；
（2）当Q在BC上运动时，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得△MPQ的面积S是梯形ABCD面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？

【推荐3】李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm²，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm²，你认为他的说法正确吗？请说明理由．

【推荐1】如图1，在直角坐标系第一象限内，与轴重合，，， ，点从点出发，以每秒个单位向点运动，点同时从点出发以每秒3个单位向点运动，当其中有一点到达终点时，另一点立即停止运动．是射线上的一点，且,以为邻边作矩形．设运动时间为秒．

（1）写出点的坐标（       ，         ）；            ；       ．(用的代数式表示)
（2）当点落在上时，求此时的长？
（3）①在的运动过程中，直角坐标系中是否存在点，使得四点构成的四边形是菱形？若存在求出的值，不存在，请说明理由．
②如图2，以为边按逆时针方向作正方形，当正方形的顶点或落在矩形的某一边上时，则           (直接写出答案)．

【推荐2】如图，在矩形中，，点在直线上，与直线相交所得的锐角为60°.点在直线上，，直线，垂足为点且，以为直径，在的左侧作半圆，点是半圆上任一点.
发现：的最小值为_________，的最大值为__________，与直线的位置关系_________.
思考：矩形保持不动，半圆沿直线向左平移，当点落在边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积.

【推荐3】如图，是等边三角形，以直线为轴建立平面直角坐标系，若且、满足，为轴上一动点，以为边作等边，交轴于．

(1)如图，求点坐标；
(2)如图，为正半轴上一点，在第二象限，的延长线交轴于，当点在轴正半轴上运动时，点坐标是否变化，若不变，求点的坐标，若变化，说明理由；
(3)如图，在轴负半轴上，以为边向右构造等边，交轴于点，如果点在轴负半轴上运动时，仍保持为等边三角形，连，试求，，三者的数量关系，并证明你的结论．

【推荐2】有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形（如图1），连接，，若，．
   
(1)线段与线段的关系是      ．
(2)把与剪去，将绕点A顺时针旋转得，边交于点K（如图2），设旋转角为β（），当为等腰三角形时．
①求β的度数；
②求的面积（保留根号）．

【推荐3】探究：
（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°,连结BD、CE．请写出图1中所有全等的三角形： （不添加字母）．
（2）如图2，已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，是过A点的直线，CN⊥，BM⊥，垂足为N、M．求证：△ABM≌△CAN．
解决问题：
（3）如图3，已知△ABC,AB＝AC,∠BAC＝90°,D在边BC上,DA＝DE,∠ADE ＝90°．
求证：AC⊥CE．
   

【推荐2】如图，是的直径，直线与相切于点，直线与相切于点，点（异于点）在上，点在上，且，延长与相交于点E，连接并延长交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如图，连接并延长与分别相交于点、，连接．若，，求．

【推荐3】如图，在中，，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为．

(1)分别求和的长度；
(2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由；
(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；