【推荐1】（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A、D、E，在同一直线上，连接，易证，则①线段之间的数量关系是______；②______；
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E，在同一直线上，若，求的长度；
（3）探究发现：如图3，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．

【推荐2】问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为       ；
探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长．

   

【推荐3】观察、思考、应用：
.
反之，

（1）仿上例，化简；
（2）若请用含的式子分别表示和．
（3）已知菱形的边长为，则菱形对角线的长为      ．

【推荐1】阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形的四边中点依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？
小敏在思考问题，有如下思路：连接．


结合小敏的思路作答．
（1）若只改变图①中四边形的形状（如图②），则四边形还是平行四边形吗？说明理由；
（参考小敏思考问题方法）
（2）如图②，在（1）的条件下，若连接．
①当与满足什么条件时，四边形是矩形，写出结论并证明；
②当与满足____时，四边形是正方形．

【推荐2】已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接．

(1)如图1，当点在同一条直线上时，求证：．
(2)如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时．
①求证：是等腰三角形；
②如图3，连并延长交于点，连接．求证：．

【推荐3】如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点．

(1)线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)若，，绕点在平面内旋转过程中，请直接写出的面积取得最大值时的长．

【推荐1】如图，是外接圆的直径，是的切线，，点D在上．
   
(1)求证：是的切线．
(2)若的边，，I是的内心，求的长度．

【推荐2】如图1，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连结，，．

(1)求证：平分．
(2)如图2，延长，相交于点．
①求证：．
②若，，求的半径．

【推荐3】如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．

(1)在图1中连结，求证：；
(2)若的半径为，求的值；
(3)如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．

【推荐1】已知：如图，在矩形中，，，对角线，交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长，交于点，连接和．设运动时间为（s）（），解答下列问题：

(1)是否存在某一时刻，使垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(2)求的面积（cm²）与运动时间（s）的关系式．
(3)求为何值时，是等腰三角形？

【推荐2】某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]

(1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，的值为 　 　；
(2)如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 　 　；
[类比探究]
(3)如图3，在中，，， ，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．
①求的值．
②连接，若，直接写出的长度．

【推荐3】如图，在中，点分别在边上，连接．已知，．

(1)求证：．
(2)若，，求的长．