如图甲，正方形
和等腰直角
有公共点
，点
是直线
上一动点，连接
，取
的中点
，连接
．
(1)【方法体会】线段，有着特别的关系，请依据思路将横线处补充完整．
解：在图甲中，将线段
延长至点
，使
，连接
，
，交于点
．
则：
即：
在
和
中：
∵
∴______（
）
∴
，
设，
交于点
，
又∵
∴
∴
，即
又∵点是
中点，点是
中点
∴
，
又∵，
∴，的位置关系是
_____；数量关系是______．
(2)【探索发现】如图乙，交于点
，交
于点
，交
于点，当点与点
重合时，求
：
的值；
(3)【拓展运用】若正方形的边长为
，连接
，
，在点运动的过程中，当
时，请在备用图中画出此时的图形，并求出此时
的面积．
和等腰直角有公共点，点是直线上一动点，连接，取的中点，连接． (1)【方法体会】线段
，有着特别的关系，请依据思路将横线处补充完整．解：在图甲中，将线段
延长至点，使，连接，，交于点．则：
即：
在
和中：∵
∴______（
）∴
，设
，交于点， 又∵
∴
∴
，即又∵点
是中点，点是中点∴
，又∵
，∴
，的位置关系是_____；数量关系是______．(2)【探索发现】如图乙，
交于点，交于点，交于点，当点与点重合时，求：的值；(3)【拓展运用】若正方形的边长为
，连接，，在点运动的过程中，当时，请在备用图中画出此时的图形，并求出此时的面积．
更新时间：2024-03-22 19:59:14
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【推荐1】已知，如图1，△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，P为边AB上一点，连接DP，以DP为一边在右侧作△DPQ，使DP＝DQ，且∠PDQ＝∠ACB，连接EQ并延长交直线BC于点H．
(1)求证：△APD≌△EQD；
(2)若∠ACB＝120°，判断BC与CH的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图2，延长DQ交BC于点G，若AC为2，求AP为何值时△HQG为直角三角形．
(1)求证：△APD≌△EQD；
(2)若∠ACB＝120°，判断BC与CH的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图2，延长DQ交BC于点G，若AC为2，求AP为何值时△HQG为直角三角形．
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【推荐2】如图，在
中，点O是
的中点，以O为圆心，
为半径作
，交
于点D，交
于点E，弧
与弧
相等，点F在线段
上，
．
(1)求证：
；
(2)判断
与的位置关系，并加以证明；
(3)若的半径为5，
，求
的长．
中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，．(1)求证：
；(2)判断
与的位置关系，并加以证明；(3)若
的半径为5，，求的长．
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、
，其中
，
，
．将
、
交于点
，证明：
；
、
，过点
于点
；
、
、
，请直接写出
、
、
三者之间的数量关系．
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名校
【推荐1】（1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形
中，点E，F分别在边
上，连接
，并延长
到点G，使
，连接
．若
，则
之间的数量关系为______；
（2）【类比探究】如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，在
中，，D，E在上，
，若的面积为16，
，请直接写出的面积．
中，点E，F分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为______；（2）【类比探究】如图2，当点E在线段
的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展应用】如图3，在
中，，D，E在上，，若的面积为16，，请直接写出的面积．
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【推荐2】如图，边长为6的正方形
的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D是边上的点（不与点A重合），
，且与正方形外角平分线
交于点E．
(1)当点D坐标为
时，求证
(2)若点D坐标为
，结论是否成立，请说明理由；
(3)在y轴上是否存在点M，使得四边形
是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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得
，根据条件填空：
的度数为______；②若
，则
的值为______；
，沿边
，点
，试猜想线段
，
，
，
，
，且
，求对角线
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【推荐1】已知：四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合）,将△ADE绕点A顺时针旋转120°后,得到△ABE',连接EE'.
（1）如图1,∠AEE'= °;
（2）如图2,如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F,过点E作EM∥AD交直线AF于点M,写出线段DE、BF、ME之间的数量关系;
（3）如图3,在（2）的条件下,如果CE=2,AE=
,求ME的长.
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解题方法
【推荐2】如图，抛物线
经过点
，
，直线
交
轴于点
，且与抛物线交于
、两点．为抛物线上一动点（不与点，重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线
上方时，过点作
轴交于点，
轴交于点
，求
的最大值；
（3）设为直线上的点，以，
，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
经过点，，直线交轴于点，且与抛物线交于、两点．为抛物线上一动点（不与点，重合）．（1）求抛物线的解析式；
（2）当点
在直线上方时，过点作轴交于点，轴交于点，求的最大值；（3）设
为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
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【推荐3】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝12，BC＝8，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．
（1）请通过计算说明小明的猜想是否正确；
（2）如图②，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高AD＝10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值；
（3）如图③，在五边形ABCDE中，AB＝16，BC＝20，AE＝10，CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°．小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
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【推荐1】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，cos∠BAC
，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作⊙O，⊙O与射线AB交于点D，以点C为圆心，CD为半径作⊙C，设OA＝x．
（2）当点D在线段AB上，如果⊙C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE＝y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在点O的运动过程中，如果⊙C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围．
，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作⊙O，⊙O与射线AB交于点D，以点C为圆心，CD为半径作⊙C，设OA＝x．
（2）当点D在线段AB上，如果⊙C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE＝y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在点O的运动过程中，如果⊙C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围．
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名校
【推荐2】如图，△ABC内接于⊙O（∠ACB＞90°），连接OA，OC．记∠BAC＝α，∠BCO＝β，∠BAO＝γ．
(1)探究α与β之间的数量关系，并证明．
(2)设OC与AB交于点D，⊙O半径为1，
①若β＝γ+45°，AD＝2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．
②若α+2γ＝90°，设sinα＝k，用含k的代数式表示线段OD的长．
(1)探究α与β之间的数量关系，并证明．
(2)设OC与AB交于点D，⊙O半径为1，
①若β＝γ+45°，AD＝2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．
②若α+2γ＝90°，设sinα＝k，用含k的代数式表示线段OD的长．
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，
，把AB绕点B顺时针旋转
得到
，连接
，过B点作
于E点，交矩形
的最小值：
到直线
，求
的值．
