【推荐1】如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中：


(1)如图，，当______时，，当______时，；
(2)如图，，当顶点在内部时（不包含边界），边、分别交、的延长线于点、，
①此时的度数范围是______．
②与度数的和是否变化？若不变，求出与的度数和；若变化，请说明理由：______．
(3)如图，将绕点按逆时针方向旋转过程中，边与射线有交点，边与射线有交点，则与有什么关系______．
(4)如图，将绕点按逆时针方向旋转过程中，边与射线有交点，边与射线有交点、请在备用图中画出其他可能位置，并写出与的关系______．

【推荐2】如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．
发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由；
探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?
   

【推荐3】“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，便于夜间查看道路安全情况，如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足，假定主道路的两边是平行的，即PQ∥MN．

(1)求、的值；
(2)若灯的射线先转动秒，灯的射线才开始转动，在射线到达之前，射线转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若灯、的射线，同时转动秒，在射线到达之前，记射线与交于点，若两束光束垂直，求的值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知点，，连接．
   
(1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：．
(2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：．
(3)如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由．

【推荐3】如图1，在正方形的外侧作两个等边三角形和，连接．
       
(1)请判断：与的数量关系是            ，位置关系是            ；
(2)如图2，若将条件“两个等边三角形和”变为“两个等腰三角形和，且”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
(3)若和为一般三角形，且，第（1）问中的结论都能成立吗？请在备用图中画出一个符合要求的示意图，同时写出你的判断，并加以证明．

【推荐1】如图，四边形是菱形，点在边上，点在菱形外部，且满足，，连接，，取的中点，连接，．

(1)探究与位置关系．
(2)若，探究线段、与的数量关系，并说明理由．
(3)若，在的延长线上时，其余条件不变，，，请求出的长度．

【推荐2】（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　；
（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

   

【推荐3】在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．

(1)如图1，当时，则______°；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．

【推荐3】如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、．

(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标．